Se uma equação diferencial de primeira ordem for escrita como um polinômio na derivada, o grau deste polinômio é o grau da equação diferencial. A forma geral das equações de primeira ordem e grau n é:
Para equações de ordens superiores o polinômio deve ser escrito em relação a derivada de maior ordem.
Se a equação diferencial resultar num polinômio de grau infinito nenhum grau poderá ser atribuído a equação diferencial correspondente. Esta equação (1.3.1) pode ser escrita, em princípio da seguinte forma:
Nem sempre é possível converter para a forma fatorada. A fatoração de equações diferenciais de grau n incorpora todas as dificuldades da fatoração de um polinômio algébrico de grau n, com a agravante que os coeficientes da forma polinomial não serem constantes, mas funções de u ou t.
Para que a equação seja satisfeita basta que qualquer um dos fatores se anule. Assim
Então uma equação de grau n é satisfeita por n famílias de curvas. Cada família é solução geral de um fator.
Exemplo – Considere a equação de primeira ordem e primeiro grau
Esta equação não é satisfeita por nenhum valor real da derivada, portanto, não tem solução.
Exemplo 1.4.2. – Considere, agora, a equação
A diferença entre esta e a equação do exemplo anterior reside apenas no sinal. Ela é satisfeita se for atribuído a derivada os valores +1 e -1. Fatorando resulta
Esta equação será satisfeita se
As soluções gerais são, respectivamente, as famílias de retas.
Curiosamente, as retas de uma família são perpendiculares as retas da outra família.
As equações de graus superiores tem esta peculiaridade, apresentam multiplicidade de soluções gerais. Não há como combinar estas soluções para obter uma solução geral única.
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