Resolver uma equação diferencial consiste em achar a função desconhecida que a satisfaz. Antes de entrar nos métodos de solução, o caminho inverso deve ser percorrido. Partindo de uma família de funções achar a equação diferencial satisfeita por ela. Para isso, considere a função de duas variáveis
Esta equação representa uma trajetória no plano u versus t. No referencial usado u é a ordenada e t é a abscissa. O gráfico da função resulta numa curva neste referencial. Se uma constante α for incluída ela assume a forma:
Escrita desta maneira ela não representa mais apenas uma curva, mas toda uma família de curvas e a cada valor de α corresponde uma curva da família. O exemplo a seguir ilustra isso
Exemplo – A função que representa uma circunferência de raio unitário com centro na origem é:
Se no membro à esquerda a parcela unitária for substituída por a função fica
Neste caso, ela passa a ser a equação da família de circunferências de centro na origem e raio α. Onde α pode assumir qualquer valor real positivo.
Considerando a equação de uma família de curvas e eliminando o parâmetro, o resultado é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para eliminar α é necessário derivar a equação da família de curvas em relação a t. Disto resulta
A eliminação de α pode ser feita considerando o par de equações:
Feita a eliminação do parâmetro o resultado será uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
Exemplo – Considere a equação da família de circunferências com centro na origem
Diferenciando em relação a t resulta
Como a constante sumiu na diferenciação, a equação diferencial apareceu sem esforço. Explicitando a derivada ela fica:
Esta equação é satisfeita pela família de circunferências com centro na origem. Para ver isso, basta inserir a equação da família de curvas na equação diferencial.
A família de curvas que dá origem a equação diferencial é a solução geral desta equação. Se a equação da família for introduzida na equação o resultado será uma identidade. Cada curva da família será uma solução particular da equação diferencial.
A obtenção da equação diferencial no exemplo acima foi simples demais e isso não é comum. Então considere o exemplo a seguir envolvendo uma família de exponenciais.
Exemplo – Considere a família de curvas exponenciais dada pela função
Seguindo o mesmo roteiro do exemplo anterior obtém-se
Como o parâmetro α não sumiu na derivação, então o par de equações deve ser considerado para eliminá-lo. Assim
Subtraindo a primeira equação da segunda resulta:
Esta é a equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja solução geral é esta família de curvas.
Entendido o conceito de solução geral, a seguir é apresentado mais um exemplo cuja utilidade será percebida mais adiante.
Exemplo – Considere agora a família de retas dada pela equação
Para eliminar o parâmetro basta diferencial esta equação em relação à t. Disto resulta que
Inserindo na equação da família de retas resulta
Esta é a equação geral de Clairaut, logo a família de retas acima é a solução geral desta equação.
Exemplo – Considerando a equação apresentada no Exemplo 1.1.1.
Esta equação é satisfeita pela família de retas
Assim, uma equação aparentemente cabeluda tem uma solução geral bem simples.
Se uma família de curvas é solução geral de uma equação diferencial, cada curva desta família será uma solução particular da equação diferencial.
O que acontece se, ao invés de um, existirem dois parâmetros? Neste caso, a equação da curva deve ser diferenciada duas vezes e a eliminação dos parâmetros leva a uma equação diferencial de segunda ordem.
Agora estamos em condições de declarar que resolver uma equação diferencial ordinária analiticamente consiste em achar a equação analítica da família de curvas que a satisfaz. O que acontece é que, na maioria dos casos, esta equação analítica não pode ser encontrada, quando é encontrada pode ser de pouca utilidade, obrigando que métodos numéricos sejam usados.
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