As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são equações que relacionam uma variável independente, t, uma função desconhecida desta variável, u(t), e a derivada de primeira ordem desta função. A forma geral destas equações é:
Normalmente, a variável independente é o tempo e a função desconhecida é uma grandeza física escalar, por exemplo, temperatura, ou vetorial, por exemplo, velocidade.
Se a variável independente for uma coordenada espacial, então t pode ser substituído por x e a forma geral acima fica:
Contudo, como, na maioria dos casos, a variável independente é o tempo, este será sempre considerado a variável independente ao longo desta monografia salvo menção em contrário. Por enquanto, a função desconhecida será uma função escalar e a primeira expressão acima será a forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. As funções desconhecidas vetoriais serão abordadas mais adiante.
A seguir são apresentados dois exemplos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem onde u é função do tempo t.
Exemplo 1 – O primeiro exemplo é a equação
Esta equação é um caso particular da equação de Clairaut, que é uma família de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem cuja forma geral é:
O nome desta equação é uma homenagem a Alexis Claude Clairaut (1713-1765), matemático francês, precursor da geometria diferencial e que realizou importantes estudos sobre curvas espaciais. Sua primeira obra, intitulada “Quatre problèmes sur de nouvelles curbes” foi apresentada a Academia de Ciência de Paris quando ele tinha 13 anos. Morreu em 1765 aos 52 anos.
Exemplo 2 – O segundo exemplo é a equação
Esta equação pode ser identificada como um caso particular da equação de Riccati cuja forma geral é
O nome desta equação é uma homenagem ao Conde Jacobo Francesco Riccati (1676-1754), matemático italiano, que estudou diversas classes de equações diferenciais incluindo esta que recebeu o seu nome.
Equações de ordens superiores a primeira estão fora do escopo desta monografia, mas como podem ser reduzidas facilmente a equações de primeira ordem, elas estão, de certa maneira, incluídas. Isso será visto mais adiante quando funções desconhecidas vetoriais forem abordadas.
Se for possível explicitar a derivada, então a equação diferencial poderá ser escrita desta maneira:
Observe que existem equações que não se reduzem a forma acima. Os exemplos a seguir são ilustrativos.
Exemplo 3 – Considere a equação de Riccati do exemplo acima
Explicitar a derivada nesta equação é muito simples, bastando transferir as duas ultimas parcelas para o membro a direita, resultando
Infelizmente nem sempre isso é possível, especialmente se a derivada estiver dentro de unções transcendentais como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 4 – Considere, agora, a equação de Clairaut apresentada noutro exemplo acima.
Nesta equação, a derivada aparece dentro e fora de uma função trigonométrica, no caso a função seno, por isso não há como explicitar a derivada.
Se a equação não for explicitável na derivada ela pode ser explicitável na função desconhecida. Neste caso a forma geral pode ser reduzida a:
Algumas equações diferenciais são explicitáveis na variável independente. Neste caso, a forma geral se reduz a:
Felizmente, é bom repetir, as equações da engenharia química surgem já com a derivada explicitada devido à forma como são obtidas. A vasta maioria delas decorre de balanço material ou energético que relacionam uma taxa de variação com fenômenos de transferência e processos transformativos.
[taxa de variação] = [taxa de transferência] + [taxa de transformação]
Os processos transformativos, no caso do balanço material, são reações químicas. Já no caso do balanço energético este processo consiste na mudança da energia de uma forma para outra. Já as taxas de transferência estão ligadas aos movimentos convectivos de matéria e energia. A inclusão de transferências difusivas normalmente leva a equações diferenciais de segunda ordem.
Exemplo 5 – Considerando um reator continuo do tipo tanque bem misturado isotérmico onde ocorre uma reação irreversível simples, o balanço material do reagente leva a seguinte equação diferencial de primeira ordem:
Nesta equação, u é a extensão da reação, considerada função apenas de t. A função r(u) é uma expressão cuja forma exata depende da cinética da transformação química. O tempo de residencia, representada pela letra grega teta, é a razão entre a vazão volumétrica e o volume do reator.Se a vazão e/ou o volume for variável, o tempo de residência será uma função conhecida do tempo.
Exemplo 6. – Considere um termômetro de bulbo de mercúrio imerso num fluido. Representando a temperatura do fluido por T0 e a temperatura do termômetro no instante de imersão por T, o balanço energético resulta
Nesta equação U é o coeficiente global de transferência de calor, A é a área de contacto fluido termômetro. m é a massa do termômetro e é o calor especifico do termômetro. Um rápido manuseio fazendo u=T e u0 = T0 conduz-nos a
Nesta última equação
O balanço não precisa ser necessariamente material ou energético, pode ser um balanço de força. Neste caso, a segunda lei de Newton se aplica
Nesta expressão, m é a massa, u a velocidade e são as forças atuantes sobre o corpo. O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo 7 – Uma esfera em queda livre num fluido viscoso é um problema básico para o estudo dos sistemas particulados. Efetuando o balanço das forças que atuam na esfera resulta:
Neste caso, o membro a esquerda é a taxa de variação do impulso (quantidade de movimento) da esfera e as duas parcelas a direita são, respectivamente, o ganho de impulso devido ao peso aparente (peso menos empuxo) e a perda de impulso devido à resistência viscosa. Na verdade, estas duas parcelas são forças Nesta equação diferencial aparecem parâmetros constantes cujos valores dependem do problema considerado. São eles, a massa da esfera, m, g, e o coeficiente de arraste, K. Nesta equação g é a aceleração da gravidade. Dividindo a equação por m, ela pode ser escrita da seguinte forma:
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