Aproveitando a carona da equação de Clairaut o caminho inverso indo da equação diferencial para a solução será percorrido. A forma geral da equação de Clairaut é
Derivando em relação t resulta
Cancelando os termos iguais e rearranjando tem-se que:
Para isso é necessário que uma das duas condições a seguir seja obedecida
No primeiro caso, uma integração leva a
Onde alfa é uma constante arbitrária. Inserindo na equação de Clairaut resulta
Esta é a família de curvas que satisfaz a equação de Clairaut. Até aqui nenhuma novidade, pois no item anterior partindo desta família de retas chegou-se a equação de Clairaut. Então esta família de retas é a solução geral do problema.
O que acontece se a segunda condição prevalecer?
Neste caso é considerado o par formado pela condição e a equação diferencial de Clairaut
Agora basta eliminar a derivada para chegar a solução, não é possível fazer isso em cima da forma geral sem especificar a função que nela aparece, então o exemplo a seguir é ilustrativo.
Exemplo – Considere a equação de Clairaut
Neste caso
Eliminando a derivada chega-se à
Esta é a equação de uma parábola e é também solução deste problema de Clairaut. A solução geral como foi visto é a família de retas
A parábola não está contida nesta família, portanto, não faz parte da solução geral e nem é uma solução particular. Por isso é chamada de solução singular.Por outro lado, a família de retas é constituída pelas retas tangentes a parábola por isso a parábola é também denominada curva envoltória da família de curvas.Os pontos localizados na solução singular admitem duas soluções: a solução singular e a reta tangente a solução singular no ponto que é uma solução particular. Cada ponto da solução singular compartilha o mesmo valor da derivada com uma das soluções particulares.
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