EDO–Problemas de segunda ordem

EDO de segunda ordem

Denomina-se equação diferencial ordinária de segunda ordem a toda equação que relacione uma variável independente, , uma função desconhecida desta variável, , e as derivadas de primeira e segunda ordens desta função. A forma geral destas equações é

Neste ponto vale salientar que a variável independente tanto pode ser o tempo ou uma variável espacial como uma distância, . A natureza do problema determina qual deve ser escolhida.

Para determinar o grau desta equação, basta escreve-la como um polinômio na derivada de segunda ordem. O grau do polinômio será o grau da equação diferencial. A forma geral de uma equação do terceiro grau é

Deixando as equações de graus superiores para outro momento e concentrando a nossa atenção nas equações de primeiro grau, então, se a derivada de segunda ordem puder ser explicitada, nem sempre isso é possível, a equação poderá ser escrita da seguinte forma:

Esta é a forma mais comum de apresentação das equações diferenciais de segunda ordem na engenharia química. As equações que se reduzem a esta forma geral são de segunda ordem e primeiro grau.

Problema de valor inicial

Esta equação pode gerar dois tipos de problemas: um conhecido como problema de valor inicial ou problema de Cauchy e outro conhecido como problema de valor de contorno.

O problema de Cauchy, em sua forma mais comum consiste em fixar os valores da função desconhecida e da sua derivada de primeira ordem no instante inicial, e calcular o valor da derivada de segunda ordem usando a equação diferencial. Este problema pode ser escrito da seguinte forma

Conhecendo-se a derivada de segunda ordem no ponto inicial, a derivada de terceira ordem é dada por

e assim sucessiva mente para obter todas as derivadas de ordens superiores. O conhecimento das derivadas permite o desenvolvimento em série de Taylor da solução. É claro que questões sobre a convergência da série e sobre a existência e unicidade de solução podem aparecer para a delícia dos matemáticos.

Problemas de valor de contorno.

Nos problemas de valor inicial, a variável independente é geralmente o tempo. Nos problemas de vapor de contorno, a variável independente é uma distância espacial. Por isso, t será substituído por x. No problema de valor de contorno, a função desconhecida é especificada em dois pontos. Assim,

Quem for mais atento com certeza percebeu estar diante se um sistema de duas equações e duas incógnitas . As duas incógnitas são exatamente as derivadas da função desconhecida. Se é possível resolver é outra questão. Fica para depois.