Considere a equação diferencial autônoma
Nesta equação t é o tempo, portanto, um escalar, e u pode ser um vetor N dimensional, mas, por enquanto, será um escalar. Os valores de u que satisfazem a equação
são pontos fixos da equação diferencial. Nestes pontos a derivada se anula. Os pontos fixos podem ser atratores e repulsores ou ter o caráter atrator-repulsor. O ponto fixo será repulsor se
Se a derivada for positiva o ponto fixo será repulsor. Se a derivada for nula então o sinal da segunda derivada deve ser considerado, mas isso é outro departamento.
Se a equação diferencial decorre de uma modelagem matemática então os pontos fixos atratores definem o regime estacionário do sistema modelado.
Na realidade das modelagens matemáticas a equação diferencial tem parâmetros considerados constantes. Em geral, mais de um. Em todo caso um pode ser selecionado e é denominado parâmetro privilegiado. Seja β este parâmetro. Ele pode ser um número adimensional. Neste caso, a equação diferencial fica
O ponto e vírgula alerta que β não é uma variável da equação diferencial. Os pontos fixos são as soluções da equação algébrica
O leitor mais perspicaz perceberá logo que os valores dos ponto fixos e sua natureza atratora/repulsora será função de β. O diagrama u versus β recebe o nome de diagrama de bifurcação. As curvas dos pontos atratores é, por convenção representado por uma linha cheia e as curvas dos pontos repulsores por linhas tracejadas. Abaixo temos uma curva de bifurcação de um reator do tipo tanque continuo adiabático. Neste caso o parâmetro privilegiado é a vazão de alimentação, um parâmetro facilmente manuseável ou diretamente ou na forma de tempo de residência na mistura no reator.
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