Aerossóis

Qualquer partícula em suspensão na atmosfera é conhecida como aerossol. As partículas podem ser líquidas e sólidas.

A faixa de tamanhos dos aerossóis vai de 0,001 mícron até 100 mícrones. Aerossóis até 10 mícrones demoram para sedimentar e a partir deste tamanho a sedimentação ocorre em minutos.

Os aerossóis constituídos por células vivas são chamados bioaerossóis e abrange os vírus, as bactérias, os polens, os ácaros, etc.

Os aerossóis mais finos são formados por combustão e seus tamanhos vão até 2,5 mícrones. São exemplos as fumaças e fuligens. Os menores aerossóis são as fumaças metalúrgicas cujos tamanhos podem ficar abaixo de 0,01 mícron. A fumaça metalúrgica, por exemplo, produz aerossóis com tamanhos inferiores a 0,01 mícron Os aerossóis mais grosseiros são produzidos por erosão e impactos e são maiores do que 2,5 mícrones. Um eixo girando num mancal produz partículas de graxa e metal por erosão. A descarga produz partículas de água misturada com fezes e urinas por impacto. Daí a recomendação de que a descarga seja feita com a tampa fechada.

Como os processos de formação são diferenciados, a curva de distribuição de tamanhos pode ser bi ou, até mesmo trimodal. Cada pico está ligado a forma de formação das partículas.

Na engenharia química os aerossóis estão ligados a qualidade do ar nos diversos ambientes de trabalho. Eles são gerados não apenas na linha de produção, mas também no ambiente administrativo.

Fluidos reopéticos e tixotrópicos

Os fluidos são classificados pela relação entre a tensão e a taxa de deformação em newtonianos e não-newtonianos. Os fluidos newtonianos se caracterizam pela linearidade entre a tensão de cisalhamento e o tensor taxa de deformação. O fator de proporcionalidade é a viscosidade do fluido. Esta relação é conhecida como lei da viscosidade de Newton.

Nos fluidos não-newtonianos esta relação é não linear e a viscosidade perde o seu sentido. De uma forma geral

É possível linearizar a função não-newtoniana num ponto e definir uma “viscosidade aparente” neste ponto a partir da função linearizada. Aqui duas situações são possíveis: a viscosidade cresce com a taxa de deformação ou a viscosidade decresce com a taxa de deformação. No primeiro caso, o fluido é classificado como dilatante e, no segundo, como pseudoplásticos. Eles não apresentam histerese.

Até aqui foram considerados o comportamento da viscosidade com a taxa de deformação assumindo que o ajuste seria instantâneo. Alguns fluidos, porém, levam um tempo para atingir a viscosidade de equilíbrio. Estes fluidos cujas viscosidades variam com o transcorrer do tempo a taxa de deformação constante são chamados de reopéticos e tixotrópicos. Eles apresentam o fenômeno conhecido como histerese. Nos fluidos tixotrópicos a viscosidade decresce com a taxa de deformação e nos fluidos e nos fluidos reopéticos a velocidade cresce com a taxa de deformação.

Pontos singulares de EDO de segunda ordem

Dada uma equação de segunda ordem na forma geral

Se os limites


forem finitos o ponto x₀ será denominado ponto ordinário da equação diferencial. Se um ou ambos os limites convergirem o ponto x_0­ será um ponto singular da equação. Neste caso, os limites a seguir serão analisados:


Se um destes limites divergir, o ponto singular o ponto singular é dito essencial ou não removível. Se os limites convergirem para um valor finito o ponto singular será dito regular ou removível. Para verificar se infinito é ponto ordinário ou singular basta fazer a mudança de variável

E repetir a análise acima para z = 0. A seguir algumas equações e seus respectivos pontos singulares.
1. Equação hipergeométrica

Esta equação tem pontos singulares regulares em 0, 1 e infinito. Todos os demais pontos são ordinários. Ela não tem nenhum ponto singular essencial.
2. Equação de Legendre

Os pontos singulares regulares desta equação são -1, +1 e infinito. Não tem ponto singular essencial. Todos os demais pontos são ordinários.
3. Chebishev

A equação de Chebishev tem as mesmas singularidades regulares encontradas em Legendre, isto é, em -1, +1 e infinito. Não possui singularidade essencial
4. Confluente hipergeométrica

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e outro ponto singular não removível em infinito. Os demais pontos são ordinários.
5. Bessel

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e um ponto singular não removível em infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
6. Laguerre

Os pontos singulares são zero e infinito. O ponto zero é uma singularidade regular e o ponto infinito é uma singularidade irregular. Todos os demais pontos são ordinários.
7. Oscilador harmônico simples

O ponto singular essencial estão localizado no infinito. Todos os demais pontos são pontos ordinários.
8. Hermite

Tem um ponto singular não removível no infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
E dai? Tudo vai depender de onde está colocada a condição inicial. Nos pontos ordinários o simples desenvolvimento em série produz o par de soluções analíticas linearmente independentes. Nos pontos singulares regulares o método a ser usado é o de Frobenius. Simplesmente desenvolver em série de potencia não vai funcionar. Se a condição inicial cair num ponto singular irregular é bronca.

Composição do gás natural

É variável, por isso a composição é dada a seguir é dada por faixas de valores.

Metano                     70% a 90%

Etano                           0%   a  20%

Propano                    Traço

Butano                       Traço

Gás carbônico         0%  a  8%

Oxigênio                    0%  a  0,2%

Nitrogênio                0%   a   5%

Gás sulfidrico           0%  a  5%

Gases raros                Traço

Intensificação da produção de petróleo por injeção de água

Uma forma de intensificar a produção de petróleo consiste em injetar água na fronteira do lençol. Este método funciona bem se a rocha armazenadora for areia ou arenito com permeabilidade alta sem a ocorrência de falhas. Se a rocha armazenadoras for carbonácea o método não funciona bem.

A figura acima ilustra a técnica. A região cinza  é o lençol de petróleo. Obviamente, esta região está coalhada de poços produtores. Se o lençol for muito extenso poços injetores devem ser colocado dentro do lençol e vários arranjos são possíveis.
Para obter a água necessária vale tudo: mar, lagos, rios, aquíferos, etc. No entanto existem restrições.
1. a agua deve ser tão limpa quanto possível com poucas partículas em suspensão;
2. a água não deve conter sulfeto de hidrogênio e nem dióxido de carbono para reduzir a corrosão dos equipamentos;
3. a água injetada não deve reagir com a água de formação com entupimento dos poros;
4. a água não deve conter matérias orgânicas e nem microrganismos como bactéria e algas.

Airy functions

A função de Airy Ai(x) e Bairy Bi(x) são soluções linearmente independentes da equação diferencial

Esta equação diferencial de segunda ordem é conhecida como equação diferencial de Airy. Ela é também conhecida como equação diferencial de Stokes. Esta função pode ser vista detalhadamente no livro “Handbook of Mathematical Functions” de Abramovitz e Stegun editado pela Dover. Ela pode ser encontrada no Maple e no MatLab.

Esta função aparece na ótica física, na solução da equação de Schroedinger, nas ondas gravitacionais em superfícies de líquidos.No meu caso ela surgiu na prova de Fenômenos de Transporte ministrada na COPPE pelo Prof.Edgar Vieira em 1969 da qual eu era aluno.

Equação cúbica

Estas equações são conhecidas como equações polinomiais do terceiro grau. Todos sabem que as equações até o quarto grau tem solução algébrica. Particularmente, não consigo imaginar porque não são todas estudadas no nível médio. Acima do quarto grau as equações polinomiais só tem solução para casos particulares. Estes casos são identificados usando a teoria dos grupos de Galois. Esta foi a grande façanha de Galois e que deu origem a chamada teoria dos grupos.
O engenheiro calculista defronta-se com equações cúbicas na abordagem de equações de estado ditas da família de van der Waals, tais como Redlich-Kwong, Redlich Kwong-Soave, Peng Robinson, etc.
A forma geral das cúbicas é

O primeiro passo para a solução destas equações consiste em reduzi-las a forma sem o termo de segundo grau

usando a transformação

A solução desta equação é dada por

Se todos os coeficientes da cúbica forem reais e se R>0 duas raízes serão complexas e uma será real. R=0, todas as raízes serão reais e, das quais, duas serão iguais. Se R<0 as raízes serão reais e desiguais. Neste caso, as fórmulas acima não funcionam e rota é outra

Considerando o sinal –/+, o sinal – se aplica quando q > 0 e o sinal + quando q < 0. O algoritmo é muito bonito, mas dá um cráu na cabeça da maioria das pessoas. Para estas pessoas, o melhor é usar o método iterativo. Neste caso, o chute inicial fica por conta da equação dos gases ideais. Calcular na munheca é mais simples e rápido.

A solução geral das cúbicas é atribuída a Cardano, mas na realidade pertence a Tartaglia. Para entender, é  necessário lembrar que, naquela época, fulano propunha um problema matemático que ninguém conseguia resolver a não ser ele próprio. Com isso, se tornava o tampa da matemática. Foi o que Tartaglia fez. Ele conhecia a solução das cúbica e das quárticas. Cardano procurou Tartaglia rogando que o ensinasse resolver as cúbicas. Jurando não publicar antes de Tartaglia. Penalizado Tartaglia cedeu. Cardano mais do que rapidamente publicou a solução em sua obra "Ars Magna".
Tartaglia tem história.  Sua mãe foi morta por um soldado. O golpe de sabre que matou a mãe atingiu a cabeça do bebe que foi dado como morto. Milagrosamente, Tartaglia sobreviveu. Era uma figura, com a cicatriz do corte na cabeça e gago. O nome Tartaglia significa gago. O seu verdadeiro nome era Nicollo Fontana. Vivia no cemitério e usava os túmulos como quadro negro.