quinta-feira, 13 de setembro de 2012

Equação cúbica

Estas equações são conhecidas como equações polinomiais do terceiro grau. Todos sabem que as equações até o quarto grau tem solução algébrica. Particularmente, não consigo imaginar porque não são todas estudadas no nível médio. Acima do quarto grau as equações polinomiais só tem solução para casos particulares. Estes casos são identificados usando a teoria dos grupos de Galois. Esta foi a grande façanha de Galois e que deu origem a chamada teoria dos grupos.
O engenheiro calculista defronta-se com equações cúbicas na abordagem de equações de estado ditas da família de van der Waals, tais como Redlich-Kwong, Redlich Kwong-Soave, Peng Robinson, etc.
A forma geral das cúbicas é
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O primeiro passo para a solução destas equações consiste em reduzi-las a forma sem o termo de segundo grau
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usando a transformação
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A solução desta equação é dada por
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Se todos os coeficientes da cúbica forem reais e se R>0 duas raízes serão complexas e uma será real. R=0, todas as raízes serão reais e, das quais, duas serão iguais. Se R<0 as raízes serão reais e desiguais. Neste caso, as fórmulas acima não funcionam e rota é outra
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Considerando o sinal –/+, o sinal – se aplica quando q > 0 e o sinal + quando q < 0. O algoritmo é muito bonito, mas dá um cráu na cabeça da maioria das pessoas. Para estas pessoas, o melhor é usar o método iterativo. Neste caso, o chute inicial fica por conta da equação dos gases ideais. Calcular na munheca é mais simples e rápido.

A solução geral das cúbicas é atribuída a Cardano, mas na realidade pertence a Tartaglia. Para entender, é  necessário lembrar que, naquela época, fulano propunha um problema matemático que ninguém conseguia resolver a não ser ele próprio. Com isso, se tornava o tampa da matemática. Foi o que Tartaglia fez. Ele conhecia a solução das cúbica e das quárticas. Cardano procurou Tartaglia rogando que o ensinasse resolver as cúbicas. Jurando não publicar antes de Tartaglia. Penalizado Tartaglia cedeu. Cardano mais do que rapidamente publicou a solução em sua obra "Ars Magna".
Tartaglia tem história.  Sua mãe foi morta por um soldado. O golpe de sabre que matou a mãe atingiu a cabeça do bebe que foi dado como morto. Milagrosamente, Tartaglia sobreviveu. Era uma figura, com a cicatriz do corte na cabeça e gago. O nome Tartaglia significa gago. O seu verdadeiro nome era Nicollo Fontana. Vivia no cemitério e usava os túmulos como quadro negro.

Um comentário:

  1. Prezado Sr. Carlos,

    Excelente alternativa à fórmula apresentada é a "FÓRMULA LUDERIANA RACIONAL PARA EQUAÇÃO CÚBICA" porque resolve a cúbica completa sem necessitar eliminar o termos x2. Além disto, resolve a cúbica real sem necessitar utilizar as funções trigonométricas o que até então era considerado impossível e por isto também imagináva-se que uma fórmula para as quínticas completas seria impossível (o que não é verdade porque, embora ainda não divulgada, já existe também a "Fórmula Luderiana Racional para Equação Quíntica Completa". Retornando a fórmula luderiana para as cúbicas basta procurar na web pelo nome da fórmula que existe pdf no slideshare para download.

    Se tiver interesse veja também a "Aplicação da Fórmula Luderiana para Extração de Raízes Cúbicas" porque aplica-se justamente na Fórmula de Tartaglia.

    Grato.

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