Ortogonalidade de funções

Dois vetores são ditos ortogonais se o produto escalar dos mesmos for nulo, isto é

No espaço tridimensional cartesiano (x,y,z) onde os versores são (i,j,k) o produto escalar pode ser escrito da seguinte forma

 

Adotando uma notação indexada o produto escalar fica

Colocando o índice entre parênteses obtém-se

Usando o somatório o produto escalar é escrito da seguinte forma

Num espaço cartesiano n-dimensional a condição de ortogonalidade dos vetores u e v seria

Considere agora duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo fechado [a,b]. Estas funções podem ser vistas como vetores onde a cada valor real de x corresponde um componente do vetor. Como o intervalo é continuo o somatório deve ser substituído pela integral e o produto escalar destas funções se reduz a

A condição para que as funções sejam ortogonais é

Simples!