EDO 012 – Equações redutíveis a exata

Dada uma equação de primeira ordem na forma diferencial

ela é dita exata se

A solução das equações que satisfazem esta condição já foi vista. Se

a equação será dita inexata. Para reduzi-la a uma equação exata é preciso encontrar um fator integrante r(u,t) tal que

satisfaça a condição das equações exatas, isto é,

 

Para achar r(u, t) é necessário resolver a equação diferencial parcial linear de primeira ordem

Atacar uma equação diferencial parcial para resolver uma equação diferencial ordinária nem pensar. Apenas dois casos serão considerados:

1. O fator integrante é apenas função de u. Neste caso, a equação diferencial parcial se reduz à ordinária

     

 

 

Observando a equação diferencial ordinária acima se percebe que um fator integrante dependente apenas de u só será possível se

Se a condição acima for satisfeita a solução da equação ordinária resultante é trivial.

2. O fator integrante é apenas função de t.  Neste caso, surge a seguinte equação ordinária

Analogamente ao caso anterior, o fator integrante só poderá ser função de t se

Como no caso anterior, se a condição acima for satisfeita encontrar o fator integrante é simples.