Números adimensionais

Estes números são muito úteis na engenharia química porque estabelecem similaridades e com base nelas o engenheiro realiza “scale up” passando da escala de laboratório via escala piloto para a escala industrial. Por exemplo, para o  desenvolvimento de um novo processo, um engenheiro químico constrói um modelo em pequena escala, denominada escala de laboratório ou escala piloto, onde testa o processo e conclui que o mesmo se qualifica ou não para ser usado em escala industrial. Se for decidido que o processo deve ser levado para a escala industrial, para que funcione da mesma forma que o seu piloto, o protótipo precisa ser similar ao piloto. Isso implica em não apenas similaridade geométrica, mas também hidrodinâmica, térmica, reacional, etc..  Ai é que entram os números adimensionais.

Existem duas formas de se chegar aos números adimensionais, a primeira é a partir das equações básicas dos fenômenos de transferências e reacionais envolvidos no processo. Nada pode ser esquecido.

Considerando a similaridade hidrodinâmica, esta é regida, no caso geral dos fluidos newtonianos, pela equação de Navier-Stokes-Poisson e, no caso particular dos fluidos incompressíveis e/ou uniformes pela equação de Navier-Stokes. A solução geral desta última equação não é conhecida e um polpudo prêmio está a disposição de quem encontra-la. Ela pode ser escrita da seguinte maneira

Esta equação é universal para o movimento dos fluidos incompressíveis e vale tanto vale para escoamentos em tubos como dentro de tanques agitados. Ela deve ser particularizada para cada caso usando hipóteses simplificadoras. Isso não interessa no momento. Se é possível montar e resolver o problema matemático resultante é assunto para outro departamento. Aqui o assunto é similaridade visando a obtenção dos números adimensionais.

Para tornar a equação de Navier-Stokes independente das dimensões ela deve ser adimensionalizada. Para isso, é necessário escolher valores de referência que podem variar de caso a caso. Esta escolha é uma arte. No caso da equação de Navier-Stokes estes valores são uma dimensão geométrica para adimensionalizar as coordenadas e uma velocidade (ou um tempo de referência) para adimensionalizar a velocidade e o tempo. Por sorte, basta isso. Neste caso,

Onde o apóstrofe indica adimensionalidade. Nesta equação

é um número adimensional conhecido como número de Reynolds. O subindice r indica os valores de referência L para dimensão geométrica e v para velocidade. Como a equação foi adimensionalizada, a sua solução independe das dimensões do equipamento ou processo modelado. Então, para que dois escoamentos, que ocorrem em equipamentos geometricamente similares, sejam hidrodinamicamente similares, é necessário que os números de Reynolds sejam iguais. Observe que nenhum outro número adimensional é necessário para garantir a similaridade puramente hidrodinâmica. Esta similaridade independe do problema matemático ser ou não ser resolvível. O fenômeno hidrodinâmico mais notável é a transição do regime laminar de escoamento para o regime turbulento.

No caso de um tubo reto, a dimensão geométrica de referência é o diâmetro do tubo, D, e a velocidade de referência é a velocidade média de escoamento do fluido, v. Neste caso, o número de Reynolds fica

Para uma esfera em queda num fluido a dimensão geométrica de referência é o diâmetro da esfera, D, e a velocidade de referência é a velocidade da esfera relativa a um referencial imóvel em relação ao fluido, v. O número de Reynolds fica

expressão bem parecida com a do tubo, só que as dimensões geométricas escolhidas são diferentes. No primeiro caso, é o diâmetro do tubo e no segundo o diâmetro da esfera.

No caso de um tanque agitado, a dimensão geométrica de referência é o diâmetro do agitador, representado também pela letra  D, e a velocidade de referência é a velocidade da extremidade do agitador que pode ser relacionada com a freqüência de rotação, N. Disto resulta o seguinte número de Reynolds

Um procedimento pode semelhante pode ser feito com a equação da energia levando ao número Peclèt (Pe). Fazendo o mesmo com a equação da transferência de massa, chega-se ao número de Bodenstein (Bo), bem semelhante ao número de Peclét e, por isso, confundido com ele. No caso da transferência de massa com reação surge o número de Damkohler.

Esta não é a única forma de se obter números adimensionais, mas é a melhor.

Uma outra forma consiste em levantar todos os parâmetros que importam e usar o teorema de Buckingham. O que este teorema diz é que se selecionarmos n parâmetros relevantes e k forem as unidades básicas envolvidas, então

´

onde p é o número de parâmetros adimensionais.

Considere um tanque agitado onde o interesse está focado no cálculo da potencia do agitador. Obviamente, quem leu o que foi dito acima percebe rapidamente que a potência gasta na agitação de um tanque é um problema relacionado a similaridade hidrodinâmica e, portanto, ao número de Reynolds, mas, por enquanto, esqueça isso.

O caminho alternativo a ser trilhado consiste em fazer uma análise dimensional usando o teorema de Buckingham. Esta trilha começa com uma listagem dos parâmetros dimensionais considerados relevante para o objetivo desejado. No caso dos tanques agitados os parâmetros considerados relevantes são cinco: a densidade e a viscosidade do fluido e o tamanho e a velocidade do agitador, além da potencia do motor usado na propulsão do agitador é claro. Se todas estes parâmetros forem expressos em unidades do SI, então as unidades básicas são três: o metro (m), o quilograma (kg) e o segundo (s). A formula acima nos informa que, neste caso, existem dois números adimensionais. Os números que vão surgir são o número de Reynolds

e número da potência

No caso do cálculo da potência do motor que aciona o agitador existe uma relação entre estes números

Esta relação é totalmente empírica, isto é, tem que ser obtida experimentalmente. Ela permite que se calcule a potencia do motor do agitador a partir do número de Reynolds. Apenas um aviso importante: cada tipo de agitador gera uma função própria e na aplicação devem ser respeitada a similaridade geométrica no “scale-up”. Curvas para os diversos tipos de agitadores podem ser encontradas no livro do Rase “Chemical Reactor Design for Process Plants” da Wiley.

Existem uma infinidade de números adimensionais. No movimento de fluidos devido a diferenças de densidade surge o número de Arquimedes, nos reatores onde ocorrem transferência de massa surge o número de Damkohler, na transferência de calor de uma parede tubular para o fluido surge o número de Brinkman e por ai vai.