Quaternions

Hoje, 4 de maio, nasceu, em 1845, o filósofo e matemático irlandês Sir William Kingdon Clifford cujo nome está associado a chamada álgebra dos quaternions conhecida como álgebra de Clifford. A idéia de quaternion se deve a  Sir William Rowan Hamilton que introduziu este conceito na matemática em 1843.

Todos sabem que um número complexo pode ser representado como um ponto num plano com a parte real sendo abcissa e a parte imaginária, a ordenada. O que Sir Hamilton fez foi imaginar como seria um número complexo espacial, isto é, que fosse representado como um ponto no espaço tridimensional. Foi pensando nisso que chegou aos números hipercomplexos que receberam o nome de quaternions. Somar e subtrair era simples, o que encucava Sir Hamilton era a multiplicação e divisão. Caminhando com a esposa veio o estalo, ele não conseguia dividir no espaço tridimensional , mas podia no espaço quadridimensional chegando a seguinte relação

Ele considerou esta relação tão importante que mandou gravar na coluna de uma das pontes de Dublin.Nesta relação

O quaternion seria então o número hipercomplexo

Esta entidade obedece todas as leis da algebra convencional menos uma, a comutatividade do produto e esta era a grande novidade. Os quaternions formam um espaço vetorial quadridimensional sobre os números reais. Logo depois da morte de Sir Hamilton, o seu livro de 800 páginas “Elements of Quaternions” foi publicado. Os quartenions, até por volta de 1880 quando Gibbs e Heaviside desenvolveram o calculo vetorial, eram usados. Apenas no final do século XX  houve um ressurgimento destes entes matemáticos.

A algebra de Clifford estende o conceito de quaternion para espaços de dimensões maiores. No espaço octadimensional estãos os octanions e no espaço de dimensão 16 estão os sedenions que podem ser alcançados pela contrução de Cayley-Dickson.

Quem já usou os números complexos na solução de Laplace sabe que facilita bastante. Conhecendo a solução numa geometria pode ser passar para outra por transformação conformal. No caso de escoamento em dutos é possível passar do duto circular para o duto triangular  e deste para o quadrado facilmente. Só que convencionalmente os engenheiros preferem passar ao largo dos números complexo preferindo rotas mais complicadas.O mesmo acontece com os quartenions.

Na engenharia química a algebra de Clifford encontra aplicação em automação e controle, reatores químicos, destilação, etc. A minha impressão geral é que estas aplicações patinam e não avançam muito em relação aois métodos ditos convencionais.