Considere a equação diferencial
Ela é dita ser com variáveis separadas se puder ser escrita, por meio de manuseios algébricos diretos, sem mudança de variável, da seguinte forma
Neste caso, a equação pode ser convertida na forma pfaffiana
A solução do problema de Cauchy pode ser obtida por integração direta de cada parcela
Encontrar a solução neste caso se resume ao bom conhecimento das técnicas de integração. Os exemplos a seguir são ilustrativos.
EXEMPLO:- Solução por separação das variáveis
Considere o problema de Cauchy
Uma rápida inspeção mostra que
Neste caso a solução é dada por
Disto resulta
A solução deste problema é, portanto,
Nesta altura é bom ressaltar que as equações diferenciais de primeira ordem autônomas são com variáveis separáveis. O problema de Cauchy para estas equações é
Neste caso,
Onde muitos exemplos envolvendo equações deste tipo aparecem é na cinética química.
Exemplo – Reações irreversíveis de primeira ordem ( A è Produtos)
Um exemplo de reação modelada por esta equação diferencial é a decomposição térmica da acetona a 504°C. Neste problema, u é a conversão e seu valor vai de zero no inicio da reação e tende para a unidade quando o tempo tende ao infinito. A solução deste problema é
Integrando resulta
Outra forma de apresentação da solução é
Exemplo – Reação irreversível de segunda ordem (2A èProduto)
Uma reação que obedece a este modelo cinético é a saponificação do acetato de etila na presença de um álcali a 20°C. Neste caso,
Integrando
Existem duas formas de apresentação da solução deste problema. A primeira é:
A segunda é:
Nenhum comentário:
Postar um comentário