Retornando a forma completa. As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem podem ser vistas como equações de três variáveis. Assim, dados os valores de duas delas, o valor da terceira pode ser calculado usando a equação diferencial. Assim, uma das opções, é especificar o valor da função desconhecida para um valor da variável independente. O valor da derivada da função desconhecida pode ser obtido com o auxilio da equação diferencial. Este valor pode existir ou não, isto levanta o problema da existência de solução. Se existir, este valor pode ser único ou não, isto coloca em tela a questão da unicidade da solução. Estas questões, contudo, estão fora do escopo desta monografia. O problema formado pela equação diferencial juntamente com o valor da função desconhecida para um valor da variável independente é conhecido como problema do valor inicial ou problema de Cauchy. A forma mais geral do problema de Cauchy é:
O nome problema decorre do fato de t0 ser considerado o tempo inicial a partir do qual o sistema modelado pela equação evolui. Sem perda de generalidade t0 pode ser zero. Neste caso, sem perda de generalidade, o problema de Cauchy fica:
Resolver uma equação diferencial ordinária consiste em achar a função desconhecida que a satisfaz. A solução é uma família de curvas a um parâmetro. No item 1.2. foi mostrado como obter a equação diferencial a partir da equação da família de curvas. Agora será feito o caminho inverso para obter a solução da equação diferencial.
Como foi visto acima, dado o valor da função desconhecida para um dado valor da variável independente (condição inicial) a equação diferencial nos fornece o valor da derivada inicial. Isto, contudo, não basta para especificar a função desconhecida que satisfaz a equação. São necessários os valores iniciais de todas as derivadas da função desconhecida. Conhecido o valor da derivada inicial, ou um dos valores possíveis desta derivada se houver mais de um valor possível, as derivadas iniciais de ordem superior podem ser calculadas por derivação sucessiva da equação diferencial. Assim,
Explicitando a derivada de segunda ordem resulta
Inserindo os valores iniciais conhecidos, resulta o valor da derivada de segunda ordem no ponto inicial. Conhecendo o valor da função, da derivada de primeira ordem e da derivada de segunda ordem, o cálculo prossegue da mesma forma para o cálculo da derivada de terceira ordem. Este processo pode ser repetido “ad nauseam”. Com isso, todas as derivadas da função desconhecida podem ser obtidas a partir da equação diferencial. Se isso for possível é claro. Conhecida todas as derivadas no ponto inicial, a solução do problema para outros valores de t é dada pela série de Taylor:
A existência de solução está condicionada a possibilidade de cálculo de todas as derivadas necessárias e à convergência da série de Taylor resultante. Estas questões também estão fora do escopo e o leitor interessado deve procurar um bom livro destinado a matemáticos. Para os matemáticos, como todos os engenheiros sabem, basta saber que a solução existe. Para os engenheiros saber a existência de uma solução e nada é a mesma coisa, a solução deve ser encontrada.
Uma função é dita analítica se ela puder ser representada por uma série de potencia convergente. As funções analíticas são uma extensão das funções algébricas. São funções infinitamente diferenciáveis que podem ser representadas por uma série de Taylor nas vizinhanças de um ponto. São exemplos de funções analíticas os polinômios, a função exponencial, as funções trigonométricas, etc..
Exemplo – Considere o problema
Seguindo o procedimento e derivando pela primeira vez a equação diferencial acima conclui-se que:
Derivando novamente resulta
Obviamente isso pode ser realizado infinitas vezes. Resultando
A série de Taylor resultante é
Esta série se identifica com a função exponencial. Logo a solução analítica do problema acima é
Observe que se a função exponencial não existisse como consequência do estudo do logaritmo neperiano, ela seria definida por esta equação diferencial. É isso que acontece com as funções especiais da Matemática Aplicada como Bessel, Legendre, Gauss, Gegenbauer, etc.
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