Números adimensionais 03: Prandtl

Se as transferências de quantidade de movimento e calor estão envolvidas, então as duas equações abaixo governam a modelagem.

Na primeira equação aparece o número de Reynolds e na segunda, o número de Peclet. Para simplificar o escalonamento foi definido a número de Prandtl como sendo

Observe que o número de Prandtl só contém propriedades do fluido que não são afetadas no escalonamento. O comprimento referencial não entra na fórmula do número de Prandtl Inserindo esta relação no par de equações acima resulta

Então para escalonar do piloto para o protótipo basta a igualdade dos números de Reynolds. O valor do número de Prandtl depende da temperatura, pressão e composição do fluido processado. A seguir são apresentados alguns valores deste número: 0,70 (ar); 4,60 (água); 3400 (glicerina); 0,0196 (mercúrio), etc.

O físico alemão Ludwig Prandtl nasceu, em Freising em 4 de fevereiro de 1875. Entre os seus estudos mais importantes estão a camada limite cujo conceito introduziu em 1904. É considerado o pai da aerodinâmica da aerodinâmica cuja equações básicas desenvolveu por volta de 1920. Inventou o tubo de Prandtl similar ao tubo de Pitot, porém, mais elaborado. Na verdade, o tubo de Pitot original era apenas um tubo dobrado em ângulo reto. . Foi diretor do instituto Max Planck. Faleceu em Göttingen em 15 de agosto de 1953.

Números adimensionais 02: Peclet

O ponto de partida para o número de Peclet é a equação do calor

O caminho das pedras envolve a escolha de uma temperatura, uma velocidade e um comprimento de referencia. A escolha depende do problema abordado. A equação adimensional resultante é

Na equação acima, Pe é o número adimensional de Peclet. Antes de seguir adiante um alerta aos navegantes: o operador “nabla” também deve ser adimensionalizado.

O número de Peclet é a razão entre o calor transferido por convecção e o calor transferido por condução. Assim valores altos do número de Peclet indicam a predominância do transporte de calor convectivo. Valores baixos indicam a predominância do transporte condutivo. Tem quem ache que o número de Peclet também se aplica a equação de transferência de massa o que não é verdade

Jean Claude Eugene Peclet nasceu em 12 de fevereiro de 1793. Foi um dos primeiros alunos da Escola Normal de Paris, tendo como professores Gay-Lussac e Dulong. Em 1816 foi nomeado professor do Colégio de Marselha onde lecionou ciências físicas até 1827 quando retornou a Paris. Em 1829 se tornou professor de física na Escola Central de Artes e Manufaturas da qual foi um dos fundadores.

Números adimensionais 01: Reynolds

Partindo da equação do movimento de Navier-Stokes

Esta equação descreve o movimento dos fluidos newtonianos em qualquer circunstância. Esta equação não tem solução geral conhecida. Tanto isso é verdade que um polpudo prêmio é oferecido para quem provar a existência desta solução. Isso não impede, contudo, que ela possa ser resolvida em casos particulares, por exemplo, no escoamento laminar em tubos. No entanto, a solução não é conhecida para escoamento turbulento qualquer que seja ele.

Para adimensionalizar a equação é necessário escolher valores de referencia para o espaço, para a velocidade e também para a pressão. Esta escolha depende do problema abordado. Neste caso,

Nesta expressão, Re é o número de Reynolds e Ru é o número de Ruark

Os valores de referência são escolhidos de acordo com o problema abordado. No caso de escoamento em tubos, o comprimento é o comprimento do tudo, mas poderia ser o raio. A velocidade é a velocidade média do escoamento que é a vazão volumétrica dividida pela área transversal. No caso de uma esfera em queda num fluido, o comprimento seria o raio da esfera e a velocidade a velocidade da esfera. No caso de um tanque agitado o comprimento seria o diâmetro do agitador e a velocidade a velocidade da ponta do agitador. Caiu a ficha?

O número de Reynolds é a razão entre a força de inércia e a força viscosa. Em valores baixos do número de Reynolds predomina a força viscosa e o regime tende a ser laminar predomina . Em valores altos, a força de inercia. Por isso o número de Reynolds é excelente para marcar o inicio do regime turbulento. No “scale-up” de equipamentos e processo onde ocorra a transferência de quantidade de movimento a similaridade exige que o piloto e o protótipo tenham valores idênticos do número de Reynolds.

Plástico de Bingham

Um material é denominado plástico de Bingham se ele se comporta como sólido em valores baixos da tensão de cisalhamento e como um fluido newtoniano quando a tensão de cisalhamento ultrapassa um valor critico. O nome se deve a Eugene C. Bingham que apresentou um modelo matemático para este tipo de material. Um exemplo de plástico de Bingham é a pasta de dente, alguns tipos de lodo e a massa de modelar.

Em tensões abaixo da tensão critica o plástico de Bingham não escoa, em tensões acima da tensão crítica escoa como um fluido newtoniano. Neste caso a modelagem matemática  depende do valor da tensão cisalhante. Assim

 

Para

a taxa de deformação é zero.  O escoamento de um fluido de Bingham sobre uma parede resulta na formação de uma camada fixa, cuja espessura depende da tensão critica. Quanto maior for esta tensão maior a espessura da camada formada. Este comportamento é ideal para tintas.

Viscosímetro Ford

Lembra o viscosímetro de Zahn no funcionamento, mas o desenho é diferente. As suas dimensões são padronizadas. Basta encher com o fluido e deixar escoar até que o filete na saída deixe de ser contínuo anotando o tempo. Este tempo pode ser associado a viscosidade em centistokes através de uma tabela de conversão. Os copos Ford, outro nome deste viscosímetro, são usinados em alumínio com os orifícios em bronze ou de aço inoxidável. Conforme o diâmetro do orifício são numerados de 1 a 5. O orifício deve ser escolhido  de tal forma que o tempo de medição não seja curto e nem longo demais. Os mais usados são #2, #3 e #4.

Copo Ford	Viscosidade cSt
#1	10-36
#2	19-156
#3	64-596
#4	79-784
#5	161-1401

Ao adquirir o equipamento ele vem acompanhado por de instruções para converter o tempo em viscosidade cinemática.

Ortogonalidade de funções

Dois vetores são ditos ortogonais se o produto escalar dos mesmos for nulo, isto é

No espaço tridimensional cartesiano (x,y,z) onde os versores são (i,j,k) o produto escalar pode ser escrito da seguinte forma

 

Adotando uma notação indexada o produto escalar fica

Colocando o índice entre parênteses obtém-se

Usando o somatório o produto escalar é escrito da seguinte forma

Num espaço cartesiano n-dimensional a condição de ortogonalidade dos vetores u e v seria

Considere agora duas funções f(x) e g(x) definidas no intervalo fechado [a,b]. Estas funções podem ser vistas como vetores onde a cada valor real de x corresponde um componente do vetor. Como o intervalo é continuo o somatório deve ser substituído pela integral e o produto escalar destas funções se reduz a

A condição para que as funções sejam ortogonais é

Simples!

REF 012 - Quantos pratos tem a coluna atmosférica?

Nas colunas de fracionamento existem dois tipos de abordagens: projeto e simulação. No projeto, a coluna não existe e precisa ser dimensionada para produzir o resultado desejado ou algo tão próximo quanto possível do desejado. Na simulação, a coluna existe e o que se deseja saber é a sua capacidade de produção e se o resultado é satisfatório.

Para projetar uma coluna para um líquido muito variável e e que se comporta mais próximo de uma mistura contínua do que de uma mistura discreta como é o caso do petróleo, o projeto tem que ser conduzido como se fosse uma simulação. Neste caso, o número de pratos deve ser préfixado dentro de uma faixa pré-estabelecida. Então, o número de pratos entre a nafta leve e a pesada vai de 6 a 8, entre a nafta pesada e o destilado leve também entre 6 e 8; entre o destilado leve e o destilado pesado entre 4 e 6, faixa que vale também entre o destilado pesado e o gasóleo atmosférico. Na zona de “flasheamento” o número de pratos se situa entre 3 e 4 Finalmente, na seção de esgotamento a vapor, o número de pratos é 4.

Com estes valores o número total de pratos de uma coluna atmosférica vai de um mínimo de 27 pratos até um máximo de 36 pratos.

Solução geral: equações diferenciais ordinárias versus parciais

A solução geral das equações diferenciais ordinárias (EDO) são famílias de curvas. No caso das EDO de primeira ordem a família de curvas tem um parâmetro. A eliminação deste parâmetro leva a EDO. Isso já foi visto.

E no caso de uma EDO como fica? Neste caso, a solução geral são funções arbitrárias. Por exemplo, a função arbitrária

é solução geral da EDP

A forma geral pode ser escrita de qualquer forma e sempre será uma solução da EDP. Assim,

ou

ou qualquer outro arranjo satisfará a equação diferencial. Não. Não tem erro. As duas funções são casos particulares da função geral acima.