Equação de Navier-Cauchy

O ponto de partida é a equação do movimento de Cauchy já vista neste blog

Esta equação é geral e vale tanto para fluidos como para sólidos. Neste caso não há escoamento, mas deformações. A velocidade é nula e a equação de Cauchy fica

Esta equação se aplica a problemas elastostáticos. A diádica T é simétrica e possui dois componentes diádicos: um isotrópico e outro não isotrópico, obviamente ambos simétricos. A deformação segue a lei de Hook que rege a elasticidade linear e que é dada por

Definindo deslocamento pontual dentro sólido como sendo o vetor u tal que

Inserindo tudo na equação de Cauchy resulta

Não. Não há erro de digitação. O nabla é um operador vetorial e o produto direto deste operador consigo mesmo será um operador diádico. Esta última equação é conhecida como equação de Navier-Cauchy. Ela relaciona as tensões/deformações no interior de sólido a partir de informações na superfície do mesmo. Isso, porém, é coisa para engenheiro projetista quando encara peças não convencionais. É assunto para a disciplina de resistência dos materiais. Para resolvê-la é necessário uma condição de contorno que pode ser:

· o conhecimento das forças que atuam na superfície do corpo sólido;

· o conhecimento dos deslocamentos superficiais e

· uma condição mista, envolvendo o conhecimento das forças numa parte da superfície sólida e dos deslocamentos noutra parte da superfície.