Equação cúbica

Estas equações são conhecidas como equações polinomiais do terceiro grau. Todos sabem que as equações até o quarto grau tem solução algébrica. Particularmente, não consigo imaginar porque não são todas estudadas no nível médio. Acima do quarto grau as equações polinomiais só tem solução para casos particulares. Estes casos são identificados usando a teoria dos grupos de Galois. Esta foi a grande façanha de Galois e que deu origem a chamada teoria dos grupos.
O engenheiro calculista defronta-se com equações cúbicas na abordagem de equações de estado ditas da família de van der Waals, tais como Redlich-Kwong, Redlich Kwong-Soave, Peng Robinson, etc.
A forma geral das cúbicas é

O primeiro passo para a solução destas equações consiste em reduzi-las a forma sem o termo de segundo grau

usando a transformação

A solução desta equação é dada por

Se todos os coeficientes da cúbica forem reais e se R>0 duas raízes serão complexas e uma será real. R=0, todas as raízes serão reais e, das quais, duas serão iguais. Se R<0 as raízes serão reais e desiguais. Neste caso, as fórmulas acima não funcionam e rota é outra

Considerando o sinal –/+, o sinal – se aplica quando q > 0 e o sinal + quando q < 0. O algoritmo é muito bonito, mas dá um cráu na cabeça da maioria das pessoas. Para estas pessoas, o melhor é usar o método iterativo. Neste caso, o chute inicial fica por conta da equação dos gases ideais. Calcular na munheca é mais simples e rápido.

A solução geral das cúbicas é atribuída a Cardano, mas na realidade pertence a Tartaglia. Para entender, é  necessário lembrar que, naquela época, fulano propunha um problema matemático que ninguém conseguia resolver a não ser ele próprio. Com isso, se tornava o tampa da matemática. Foi o que Tartaglia fez. Ele conhecia a solução das cúbica e das quárticas. Cardano procurou Tartaglia rogando que o ensinasse resolver as cúbicas. Jurando não publicar antes de Tartaglia. Penalizado Tartaglia cedeu. Cardano mais do que rapidamente publicou a solução em sua obra "Ars Magna".
Tartaglia tem história.  Sua mãe foi morta por um soldado. O golpe de sabre que matou a mãe atingiu a cabeça do bebe que foi dado como morto. Milagrosamente, Tartaglia sobreviveu. Era uma figura, com a cicatriz do corte na cabeça e gago. O nome Tartaglia significa gago. O seu verdadeiro nome era Nicollo Fontana. Vivia no cemitério e usava os túmulos como quadro negro.

Erro relativo de uma radiciação

A função estudada é

Deseja-se o erro relativo no cálculo de u conhecendo-se o erro relativo de x. Usando a formula geral de cálculo de erros obtém-se

O erro relativo de uma raiz de índice m é m vezes menor do que o erro relativo do radicando. Simples e fácil de memorizar.

Caminho das pedras: Reator do tipo tanque

Considere um reator do tipo tanque descontínuo contendo um volume V de uma mistura reagente. A mistura é homogênea e uniforme e formada por C componentes e nela ocorrem R reações químicas independentes. As reações são:

Na expressão acima i se refere às reações e j se refere aos componentes.

O balanço material, ou melhor, o balanço molar da mistura conduz as R equações a seguir:

Nesta equação,  são, respectivamente, o grau de avanço e a velocidade da reação, ambos referidos a unidade de volume.

O balanço energético conduz a equação:

Nesta equação T é a temperatura da mistura reagente e  Tm  é a temperatura do fluido térmico que circula na camisa ou serpentina. O fator adiabático de cada reação é

Finalmente,

Nesta equação A é a área de troca térmica e U é o coeficiente global de transferência calor entre a mistura reagente e o fluido térmico. Nestas equações Cp é o calor especifico da mistura. Ele pode ser calculado a partir dos calores específicos dos componentes e da composição da mistura.

Disso tudo resulta um sistema de R + 1 equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

As condições iniciais apropriadas são:

Este sistema de equações pode ser resolvido por qualquer um dos muitos métodos de Runge-Kutta [ Lapidus e Seinfeld, 1971]

As informações adicionais necessárias são:

1. A cinética de todas as reações envolvidas em função da temperatura;

2. O calor específico da mistura em função da composição e do grau de avanço;

3. Os calores de reação em função da temperatura e

4. A equação de estado da mistura reagente que rege a relação da densidade da mistura com a composição, a pressão e a temperatura.

Leon Lapidus e John Seinfeld, “Numerical solution of ordinary differential equations”, Academic Press, NY.

Destilação molecular

Também conhecida como destilação de alto vácuo. Pode ser realizada em um ou mais estágio. Para ser classificada como destilação molecular a pressão de operação deve ser inferior a 1 mbar, podendo atingir 0,001 mbar. Nestas pressões a distancia média entre as moléculas é significativa em relação às dimensões do equipamento, isto é a distância entre a superfície onde ocorre a ebulição e a superfície onde ocorre a condensação que dever da ordem de milímetros. Com isso, elimina-se o maior entrave da evaporação em altos vácuos: a perda de carga.

A grosso modo, o destilador molecular consiste  de um cilindro vertical encamisado por onde escoa uma película da mistura a ser fracionada. Na camisa circula o fluido de aquecimento que faz com que a película entre em ebulição. Bem próxima a superfície da película existe uma outra superfície cilíndrica refrigerada onde o vapor é condensado. O condensado restante sai pela base e o vapor sai pelo topo. O que tem que ser milimétrica é a distância entre a superfície da película e a superfície onde ocorre a condensação.

Para dimensionar a fórmula de Langmuir é útil, ela fornece o fluxo em kg/m²h  a partir da pressão em bar, temperatura em Kelvins e peso molecular em Dalton.

A destilação molecular é usada para separar substâncias de alto peso molecular, entre 250 e 1200 Dalton, muito sensíveis ao aquecimento. Neste sentido a destilação molecular concorre com a liofilização.

Béqueres

São copos usados em laboratório de forma cilíndrica e fundo chato, dotado de um bico de transferência. Eles podem ser graduados de forma a permitir uma medição grosseira do volume do conteúdo. Existe em três formas: copo de béquer de forma baixa, copo de béquer de forma alta e o copo de béquer plano. O bequer de forma baixa é aquele que mais usado e que aparece na figura abaixo, conhecido também como copo de Griffins.

O béquer de Griffin pode ser encontrado em volumes que vão de 5 mL até 5000 mL.
O copo de becher de forma alta é mais esbelto, sendo conhecido como copo de Berzelius.

Existe um beque r que mais parece uma bacia conhecido como béquer plano. Este é mais usado para realizar cristalizações.  Quando a parede do bequer é inclinada, como acontece em geral com os copos, o béquer é chamado de Phillips.

Tem béquer até com alça. Daria um bom copo para um chopinho gelado.

Arquitetura de laboratórios: Dimensões

Existem laboratórios para todas as necessidades, mas o nosso alvo são os laboratórios químicos e biológicos. O nível de segurança exigido governa a arquitetura laboratorial. No caso dos laboratórios químicos são as substâncias químicas que determinam o nível de segurança e, no caso dos laboratórios biológicos, os entes biológicos manipulados.
As dimensões de um laboratório  tem muito a ver com a heurística, com a ergometria e com a movimentação das pessoas, ventilação e iluminação. Uma regra é dita ser heurística quando ela é intuitiva e decorre da vivência. Por exemplo, a porta de um laboratório deve abrir obrigatoriamente para fora. Por que? Porque facilita a fuga no caso de uma emergência do tipo incêndio ou vazamento de substâncias venenosas. A ergometria afeta o dimensionamento de tudo com a dimensões média da população. Por exemplo, a largura de uma bancada não pode exceder o comprimento do braço de quem a utiliza. Finalmente, tudo isso vem da experiência acumulada ao longo do tempo.
No caso das dimensões de um laboratório, elas devem ser múltiplos de três metros.  O módulo menor é 3mx3m e o mais comum é 3mx6m. Claro que laboratório de ensino tem dimensões maiores, dependendo da quantidade de alunos, mas a regra dos múltiplos de 3m continua valendo.
Ah. os cantos das paredes, piso e teto devem abaulados para facilitar a limpeza.
O pé direito, que á a altura que vai do chão ao teto, não deve ser menor que dois metros e sessenta centímetro. No caso de laboratórios de unidades pilotos, o pé direito deve ser compatível com os equipamentos a serem colocados e operados nele. Nas áreas não laboratoriais o pé direto é dois metros e quarenta. Construir construir edificios laboratoriais consiste em juntar paralelepípedos de 3mx3mx2,60m. Ah ... parede só de alvenaria.


As janelas serão discutidas mais adiante. A área das janelas deve ser, no mínimo, 25% da área do piso.
As portas também serão discutidas noutra oportunidade, mas, como foi dito acima, devem abrir para fora. Se o laboratório possue algum nível de risco, então deve ter duas portas.

Efeito de agachamento

Em inglês é conhecido como “squat effect”.  A palavra "squat" em inglês significa agachar em português. Quando um navio passa por um canal raso ele é puxado para baixo afundando. Quanto maior a velocidade do navio maior será o afundamento. Se a velocidade dobra o afundamento quadruplica.
Isso acontece por que a água que passa embaixo do navio gera um pressão baixa semelhante a uma asa de um avião invertida. Só que no avião este efeito puxa para cima e no navio para baixo. Este afundamento é proporcional ao quadrado da velocidade do navio. Trata-se de uma aplicação direta da equação de Bernoulli.
O "Oasis of the Seas", na época o maior navio de cruzeiro do mundo, foi fabricado na Finlândia. Terminada a construção, ele deveria seguir para a Flórida onde navega até hoje. Nesta primeira viagem, ele deveria passar por baixo de uma ponte em condições muito apertadas. Levando o navio a toda velocidade, o afundamento foi de cerca de trinta centímetro, aumentando a folga para cerca de 60 centímetros. Suficiente para passar por baixo da ponte. Este efeito também explica alguns encalhamentos.
Existe um efeito bem semelhante  quando dois navios navegam próximos em rotas paralelas. A maior velocidade na região entre os navios puxa os navios para uma colisão lateral.
Em tempo: O maior navio de cruzeiro do mundo no momento é o "Allures of the Seas" operado pela mesma empresa.