Quaternions

Hoje, 4 de maio, nasceu, em 1845, o filósofo e matemático irlandês Sir William Kingdon Clifford cujo nome está associado a chamada álgebra dos quaternions conhecida como álgebra de Clifford. A idéia de quaternion se deve a  Sir William Rowan Hamilton que introduziu este conceito na matemática em 1843.

Todos sabem que um número complexo pode ser representado como um ponto num plano com a parte real sendo abcissa e a parte imaginária, a ordenada. O que Sir Hamilton fez foi imaginar como seria um número complexo espacial, isto é, que fosse representado como um ponto no espaço tridimensional. Foi pensando nisso que chegou aos números hipercomplexos que receberam o nome de quaternions. Somar e subtrair era simples, o que encucava Sir Hamilton era a multiplicação e divisão. Caminhando com a esposa veio o estalo, ele não conseguia dividir no espaço tridimensional , mas podia no espaço quadridimensional chegando a seguinte relação

Ele considerou esta relação tão importante que mandou gravar na coluna de uma das pontes de Dublin.Nesta relação

O quaternion seria então o número hipercomplexo

Esta entidade obedece todas as leis da algebra convencional menos uma, a comutatividade do produto e esta era a grande novidade. Os quaternions formam um espaço vetorial quadridimensional sobre os números reais. Logo depois da morte de Sir Hamilton, o seu livro de 800 páginas “Elements of Quaternions” foi publicado. Os quartenions, até por volta de 1880 quando Gibbs e Heaviside desenvolveram o calculo vetorial, eram usados. Apenas no final do século XX  houve um ressurgimento destes entes matemáticos.

A algebra de Clifford estende o conceito de quaternion para espaços de dimensões maiores. No espaço octadimensional estãos os octanions e no espaço de dimensão 16 estão os sedenions que podem ser alcançados pela contrução de Cayley-Dickson.

Quem já usou os números complexos na solução de Laplace sabe que facilita bastante. Conhecendo a solução numa geometria pode ser passar para outra por transformação conformal. No caso de escoamento em dutos é possível passar do duto circular para o duto triangular  e deste para o quadrado facilmente. Só que convencionalmente os engenheiros preferem passar ao largo dos números complexo preferindo rotas mais complicadas.O mesmo acontece com os quartenions.

Na engenharia química a algebra de Clifford encontra aplicação em automação e controle, reatores químicos, destilação, etc. A minha impressão geral é que estas aplicações patinam e não avançam muito em relação aois métodos ditos convencionais.

Efeito Magnus

Nasceu hoje, em 1802, Heinrich Gustav Magnus, químico que, entre outras coisas, descobriu o efeito que recebeu seu nome.

Quem gosta e aprecia um futebol bem jogado sabe que os craques quando querem que a bola descreva uma curva chutam de tal forma que a bola se desloque girando sobre o seu eixo. Este movimento de rotação cria um efeito semelhante ao da asa de um avião no sentido perpendicular ao movimento e ao eixo de rotação da bola. Com isso, o craque consegue enganar o goleiro nas faltas ou enviar a bola para um companheiro sem que seja interceptada por um defensor. Este efeito é conhecido como efeito Magnus e foi descoberto em 1853. Vale para qualquer objeto que se movimente girando num fluido seja ele uma esfera ou um cilindro. Ele não é usado apenas no futebol, mas pode ser observado no tenis, no golf, no voley, contudo, onde o efeito Magnus é mais explorado é no ping-pong devido a leveza da bola.

A explicação está na equação de Bernoulli. A rotação faz com a velocidade do fluido seja maior num lado e menor no outro. No lado onde a velocidade é maior a pressão é menor no outro lado a pressão é maior. Esta diferença de pressão gera a força que causa este efeito. O efeito Magnus foi considerado e explicado por Newton, em 1672, e por Robins em 1742, mas o creédito fica mesmo comMagnus. Coisas da ciência.

Para quem gosta de teoria sugiro ir para:

http://www.mathpages.com/home/kmath258/kmath258.htm 

Usando o teorema de Kutta-Joukowski o negócio fica bem mais fácil. O teorema tem o seguinte enunciado: a força sobre um rotor cilindrico é:

 

e é perpendicular a direção do movimento. Demonstrar este teorema está fora do escopo deste blog.

Outro caminho seria aquele trilhado pelo capítulo de balanço macroscopico de quantidade de movimento dos livros de fenômenos de transporte. A força seria proporcional a energia cinética e a área transversal.

O coeficiente de proporcionalidade, k, recebe, neste caso, o nome de coeficiente de sustentação e deve ser determinado experimentalmente em função do número de Reynolds e da velocidade de rotação. A situação é bem parecida com o cálculo da força de arraste e da perda de carga.

O efeito Magnus pode ser usado na propulsão de aviões e navios. O rotor usado recebeu o nome de rotor de Flettner em homenagem ao seu inventor. Na foto abaixo, vemos um barco propulsionado por dois rotores de Flettner. Este barco atravessou da Alemanha para a Escócia em 1925. Em 1926 fez a viagem da Alemanha para Nova Iorque via América do Sul. Os dois rotores da foto tem 15 metros de altura.

Nos aviões as asas poderiam ser substituidas por dois rotores de Flettner para a sustentação durante o vôo. Quem realizou experimentos com rotores cilindricos foi Ludwig Prandtl No Instituto de Pesquisas Aerodinâmicas em Goettinger. Os rotores criaram um força de sustentação 10 vezes maior do qua a asa plana o que foi surpreendente.

Indiscutivelmente, o rotor é menos eficiente do que a proprulsão tradicional tanto em navios como em aviões e fica apenas como curiosidade.  Em todo caso, a Enercon, empresa alemã voltada para o uso da energia eólica construiu no ano passado, 2008, um navio baseado neste principio para transportar os seus equipamentos para todo o mundo. Uma excelente forma de marketing da energia eólica.

E na engenharia química? O que eu posso dizer é que consigo vislumbrar outro uso que não seja discutir o fenômeno numa aula de fenômenos de transporte. Numa aula a nível de mestrado é claro.

Quem gosta de sofrer pode ler os dois volumes do excelente livro de Basset “A treatise on hydrodynamics” editado pela Dover que aborda todas as possibilidades de movimento de sólidos em fluidos. Vale a pena.

TD 015 – Velocidade de reação

Dada a reação

A velocidade desta reação é definida pela relação

Em outras palavras a velocidade de uma reação é a taxa de variação do grau de avanço da reação em função do tempo. Observe que a velocidade da reação não deve ser confundida com a velocidade de reação do componente e que ela é uma propriedade extensiva do sistema.

Para obter a velocidade de reação do componente basta derivar o número de moles deste componente. Assim

Se o consumo de reagente for expresso em termos de massa a velocidade de reação do componente fica

Com isso encerra-se a parte fundamental onde a notação foi toda definida e os estudos termodinâmicos dos sistemas reagentes podem ser iniciados. Claro que é possível relacionar a variação das frações mássicas e molares dos componentes com a velocidade de reação, mas isso é trivial.

PRÓXIMO: TD 016 - Lei zero da Termodinâmica

Carother e a síntese do Nylon

Em 1935, foi sintetizado o nylon pelo químico chamado Wallace Hume Carothers que nasceu hoje em 1896. Ele produziu este polímero pela condensação do acido adípico com a hexametileno diamina. O polimero produzido era, portanto, uma poliamida que recebeu o nome de nylon. Dizem que o nome resultou da combinação das iniciais de New York com as três primeiras letras de London (Londres). Foi a primeira fibra sintética produzida.
Carother era o chefe da equipe de pesquisas em química orgânica da Dupont e suicidou-se antes do nylon ser comercializado em 1938. O nylon se mostrou insuperável como o análogo sintético da seda. Por isso, é largamente usado na confecção de meias e roupas intimas, maiôs, biquínis, como fio para suturas cirúrgicas, panos para pára-quedas, etc. O nylon sólido é usado na confecção de peças de máquinas.
Basicamente o nylon se forma na condensação de uma diamina com um diácido

ou pela condensação de aminoácidos ou pela abertura do anel de lactamas que nada mais são do que amidas cíclicas. A lactama com seis carbono é conhecida como caprolactama

Se o nylon é produzido de um aminoácido ele recebe um único número que corresponde ao número de carbonos no aminoácido ou lactama usados. Por exemplo, o nylon 6 é obtido pela reação acima envolvendo a caprolactama. Se o nylon é o resultado da condensação de um diácido com uma diamina então recebe dois números que corresponde ao número de carbonos na amina e no ácido, respectivamente, por exemplo, o nylon 6,6 na reação mais acima. Embora os nylons 6 e 6,6 sejam muito parecidos, o nylon 6 é mais fácil de ser fabricado abrindo a cadeia da caprolactama. O nylon 6 surgiu porque outras empresas tiveram que quebrar a patente de fabricação do nylon 6,6 da Dupont para entrar no mercado.
Para mais detalhes sobre o nylon 6,6 visitar:
http://pslc.ws/macrog/nysyn.htm

Carothers nasceu em 1896 em Burlington, Yowa. Seu pai, Ira Hume Carothers, ensinava disciplinas relacionadas com contabilidade. In 1915 entrou no Tarkio College onde se especializou em química. Depois do inicio da Primeira Guerra, foi solicitado a exercer o cargo de professor de química pela falta de pessoas experientes. Obteve o Bacharelado em Ciência em 1920 ingressando, em seguida, no Departamento de Química da Universidade de Illinois. Contudo, ensinar não era o seu forte. Ele preferia trabalhar no laboratório.
Em 1928, a Dupont criou uma divisão de pesquisas visando o desenvolvimento de materiais artificiais. Carother deixou Harvard para dirigir esta divisão. Um dos seus primeiros estudos foi estudar um grupo químico conhecido como polímeros do acetileno. Esta pesquisa o levou a descoberta do neopreno. Dai para o desenvolvimento do nylon foi um pulo.
Em 1936 foi eleito membro da Academia Nacional de Ciências. Muitos anos depois de sua morte, a Dupont criou um laboratório de pesquisas que recebeu o seu nome.

Como surgiu a carta patente

Hoje, em 1552 foi concedida a primeira carta patente regular para Henry Smith envolvendo uma técnica de produção de vidro. Naquele tempo a patente era um édito real dando conhecimento a todos da vontade do rei. Com isso, começou a concessão regular de patentes que dura até hoje.

Esta não foi, contudo, a primeira carta patente. A primeira foi concedida, também na Inglaterra, por Henrique VI mais de 100 anos antes, em 3 de abril de 1449, à John of Utynan. Este deveria introduzir a técnica de produção de vidros coloridos na Inglaterra visando a fabricação de vitrais para o rei.

A patente é uma concessão de direito de exclusividade a uma pessoa por um tempo limitado em troca da revelação da sua invenção. Terminado o período de concessão da exclusividade a invenção se torna de domínio publico. A concessão de cartas patentes varia de pais para pais sendo regida por acordos internacionais coordenados pela OMC que padronizou a duração mínima em 20 anos. Contudo, a duração varia com o tipo de patente e com o pais onde a patente é concedida.

DEST 002 – Internos de uma coluna de fracionamento

Na forma como foi descrita em DEST 001 a coluna de fracionamento seria um um simples tubo vertical oco, onde uma corrente de vapor ascendente é posta em contato com uma corrente descendente de líquido. Na prática a coisa não é tão simples assim e a coluna tem acessórios internos cujos objetivos são:

1. aumentar o tempo de residencia do líquido e do vapor na coluna e
2. promover o contato mais intimo possível entre o líquido e o vapor visando a maximização dos processos de transferência.

Técnicamente, não existe nehum impedimento quanto a usar uma coluna oca. Para funcionar assim, uma das fases precisa ser a fase continua e a outra a fase particulada. Se a fase continua for o líquido, basta fazer o vapor borbulhar no líquido descendente. Se a fase contínua for o vapor, basta fazer o líquido “chover” na corrente ascendente de vapor, mas sem os internos a eficiência da coluna não é grande.

Existem duas formas de se alcançar os objetivos propostos acima. Uma seria dotar a coluna de pratos  e outra seria rechear a coluna com partículas sólidas inertes denominadas recheio.

Colunas de pratos

Os pratos ou bandejas são placas dispostas horizontalmente ao longo da coluna com o objetivo de empoçar o líquido descendente. Eles são construido de tal maneira que o vapor ascendente borbulhe nos líquidos empoçados nos pratos. Existem muitas maneiras de se fazer isso, apenas para fins de explanação do funcionamento da coluna de pratos foi selecionado o prato perfurado. Este prato é perfurado como se fosse um chuveiro o líquido é retido nos pratos pela pressão do vapor borbulhante. O líquido escoa de prato em prato vertendo através “downcomers”. A Figura a seguir ilustra os movimentos do líquido e do vapor nos pratos. Embora não apareça na Figura, o vapor borbulha no líquido empoçado no prato quase ao ponto de formar uma espuna.

Colunas de recheio

Neste caso, a coluna é recheada com sólidos particulados que poderiam ser qualquer coisa: cacos, cascalho, bagaço de cana, etc. Na prática se usa recheios especiais próprios para uso neste tipo de colunas. Existem vários recheios que serão visto mais adiante, mas o mais simples são os anéis de Rashig. São recheios tubulares com o diâmetro externo exatamente igual ao comprimento.

 

Existem outros tipos de recheios mas este serve apenas como ilustração de como é um recheio.

Nas colunas recheadas o líquido molha toda a superficie oferecida pelo recheio e escoa descendentemente na forma de uma fina pelicula. O vapor ascende nos vazios entre os recheios que não deve ser totalmente preenchido pelo líquido. Quando isso acontece ocorre um fenômeno chamado inundação da coluna e que é prejudicial ao funcionamento das mesmas.

Os recheios podem ser colocados na coluna aleatóriamente sendo derramado na mesma, ou empilhados organizadamente dentro da coluna. Para empilhar é necessário que o recheio tenha um tamanho tal que possa ser manuseados normalmente.Os recheios são suportados em grades e as seções recheadas não podem ser muito longas por causa da tendência do líquido de escorrer para o meio e o vapor para as bordas.

PRÓXIMO: Pratos versus recheios

O sermão do padre alemão

Não é uma piada acadêmica, mas como é uma das melhores vou colocar aqui. Ela tem que ser lida por quem conhece o sotaque alemão. Procurem um amigo gaucho, catarinense ou paranaense que vocês vão rolar de rir.

Minhrras carríssimos Irrmöns. Quem crriou o mundô fô Deu. Ontem fô dia de Alegrria, fô dia de satisfaçom. No semana que fem terremos um prrocessóm. Mas non serrá como o da ano passado, que os molherres se menstruavam com as omens. Ela serrá combosta de trrêis filas: um fila combosta de omens, otrro combosta de molherres e o último combosta de crrianzas. Os molherres deferróm fir festidos de brranco. Se non tiferrem festidos brrancos, fodem virr cú da mäe, cú da tia ou cú da fó. Os molherres deferróm trrazer felas. Os cassadas que chá tem eksperriência lefarróm os felas no frente. Os solterras que nunca lefárram felas, lefárrom atráz. Os velhinas, coitadinhas, que chá lefárram muitoa felas no su vida non prrecessam lefar felas. Uma afizo parra as omens: Elas non deferróm amarrar as cavalas seus na pau enfrente pigrêcha, porrque aquela pau non serr do igrêcha, aquela pau ser meu. Outrra afizo, parra as vaqueirros: Non deferron entrrar com seus eksporras no igrêcha, porrque já se viu, eksporras aqui, eksporras alí, aí acabam eksporrando em todo o chente. Farremos também um campanha parra cerrcar a cemitérrio, parra as cavalas non entrarrem lá, porrque... piça aqui, piça alí, piça em todo lugar, e quando focês morrem... piça em focês também. No fim do procissóm, terremos um chupada no frrente do igrêcha, o serrá do seguinte maneirra: esticarremos uma pau, e colocarremos uma parril em cada punta da pau. Da lado dirreita ficarróm as omens, da lado oksquerrdo ficarróm os molherres. Quando eu contá até trrêis, fäo todos parra a punta do parril. Minharras querridos Irrmäos, na prróksimo sápato terrá um festinha no igrêcha. Quem quisser cunfite, passa no putarria do igrêcha. Focês precizam prestichiá o pirróquia do figárrio. Parra qualquerr otrro informaçóm, estarrei à disposiçóm no putarria da frente.