Reatores do tipo gás-sólido

Um tipo bastante comum de reação é aquele que ocorre  em misturas heterogêneas do tipo gás sólido. Em geral, a fase continua é o gás e fase particulada é a fase sólida.

O sólido pode ser reagente, produto ou catalisador.  Se for reagente ele é consumido. se for ´produto ele é formado. Se ele for catalisador, ele atua sobre a reação, mas não é nem consumido e nem produzido. Em raros casos, o sólido pode ser inerte

Considerando o tipo de reator eles podem ser:

1. Reator de leito fixo - Neste caso as partículas são retidas  no reator e qualquer tipo de movimento é impedido. A Figura a seguir ilustra este tipo de reator. A mistura reagente gasosa entra por baixo, percola o leito e sai pelo topo. 

Outro tipo de reator usado é o reator de leito móvel. Neste reator  a mistura reagente gasosa ascende em contracorrente com as partículas descendentes 

O terceiro tipo combina os dois tipos anteriores. As partículas solidas  se agitam numa corrente ascendente de mistura reagente gasosa sem. Nos casos extremos o reator de leito fluidizado podem atuar  como leito fixo ou como leito móvel. A Figura a seguir ilustra este tipo de reator.. 

TD –Segundo princípio da Termodinâmica

Existem muitas formas de abordagem do segundo princípio da termodinâmica. A mais simples consiste em definir a função entropia e trabalhar em cima dela. Não é muito católico, mas serve como um bom ponto de partida. Mais tarde, outros roteiros poderão ser explorados. Antes, porém, algumas considerações devem ser feitas.

O primeiro princípio é uma lei que impõe a conservação da energia. A energia não pode ser criada nem destruída. O segundo princípio é uma lei restritiva. A entropia nos processos espontâneos não pode ser destruída, apenas criada. Com isso, ela divide os processos em espontâneos e não espontâneos. Por exemplo, se uma bola for colocada numa rampa, ela descerá espontaneamente criando entropia no processo. O processo oposto não acontece sem ajuda. Alguém, ou um dispositivo, deve empurrar a bola rampa acima. Por isso, é um processo não espontâneo, destruidor de entropia. 

Na fronteira entre estes dois, estão os processos reversíveis. Por exemplo, uma bola colocada num plano horizontal é um exemplo de processo reversível. Basta um leve sopro para a bola se movimentar superlentamente numa direção. Basta um leve sopro na direção oposta para a bola se mover na direção oposta também superlentamente. Os processos reversíveis são, portanto, processos superlentos.  Por isso, os processos reversíveis são conhecidos como quase estático.

Agora, o segundo princípio pode ser explorado. Definindo a entropia pela expressão

dS = dq/T

Nesta expressão, dq é o calor efetivamente trocado entre o sistema e a sua vizinhança e T é a temperatura absoluta.A temperatura absoluta é sempre positiva, Nos processos espontâneos, onde a entropia é criada

dS = dq/T  é maior do que 0

   

Nos processos espontâneos nos quais a entropia é destruída

dS = dq/T  é menor do que 0
   

Nos processos reversíveis onde a entropia não pode ser criada e nem destruída

dS = dq/T = 0

A interpretação fica mais fácil se as desigualdades forem eliminadas

dS = dq/T + dq'/T = 0

Nesta expressão, dq' é o que Clausius chamou de calor não compensado. A primeira parcela é entropia trocada entre o sistema e a vizinhança. A segunda parcela é a entropia criada ou destruída no sistema. Observando esta relação, chega-se à conclusão de que, para os processos espontâneos, o calor não compensado de Clausius deve ser sempre positivo.

Classificação do etanol por geração

O etanol de primeira geração, denominado etanol 1G, é o produzido a partir da sacarose. Neste caso, a matéria prima preferencial é, ou a cana de açúcar, ou a beterraba. O etanol de segunda geração, denominado etanol 2G, é o produzido a partir de materiais amiláceos, que podem ser grãos, como por exemplo, o milho, ou tubérculos, como, por exemplo, a mandioca. O etanol de terceira geração, denominado etanol 3G, é o produzido de materiais celulósico.

Reatores do tipo tanque

São basicamente vasos de pressão que realizam reações químicas. São usados exclusivamente para reações em misturas homogêneas liquidas. Não servem para processar reações em misturas gasosas, mas podem ser usados para reações em misturas heterogêneas do tipo gás-liquido e liquido-liquido. 

Podem ser classificados, no caso de misturas líquidas homogêneas pelo modo de operação em:

1. Reatores do tipo tanque descontínuos – Também conhecidos como reatores em batelada. Neste tipo de reator, os reagentes são introduzidos no vaso no início do processo. Terminada a carga, o reator é levado para as condições de temperatura e pressão adequadas para a ocorrência da reação. Em seguida, a reação é processada até atingir a conversão desejada. Terminada a reação, o reator volta para condições que permitam a descarga segura e o conteúdo do reator é descarregado e o reator é preparado para receber nova varga. O ciclo operacional destes reatores tem, portanto, três etapas: carga, reação e descarga.
   
    
2. Reatores do tipo tanque contínuos – Também conhecidos pela sigla em inglês CFSTR (Continuous Flow Stirred Tank Reactor). Neste tipo de reator, a alimentação, a reação e a descarga ocorrem simultaneamente. Para que este reator funcione em regime estacionário, a vazão volumétrica de entrada deve ser igual a vazão volumétrica na saída. Nestas condições, não há variação do volume da mistura reagente no tanque.
   
    
3. Reatores do tipo tanque Semicontínuos – Também conhecidos como reatores em semibatelada. Esta categoria de reatores abrange todos reatores do tipo tanque que não se enquadram por alguma razão nas categorias anteriores.
   
    

 

 

O que são reatores químicos?

São equipamentos que realizam reações químicas em escala industrial visando a transformação de matérias primas disponíveis na natureza, ou provenientes de outras indústrias, em produtos úteis.

Por exemplo, nas fábricas de amônia o nitrogênio atmosférico reage com o hidrogênio petroquímico para formar o produto desejado a amônia. A reação transformadora é

Esta reação ocorre em condições de temperatura e pressão elevadas na presença de um catalisador sólido específico a base de ferro. Para explicar a ação catalítica a reação se desdobra em etapas irredutíveis simples, mas isso não importa, pelo menos por enquanto.

O equipamento que realiza esta reação é conhecido como conversor de amônia. Como ele realiza a transformação química em escala industrial, ele é um reator químico no sentido exato do termo. O seu desenho é muito especifico para o tipo de reação que realiza, não servindo para realizar outras reações.

A definição dos reatores químicos, embora muito singela, impõe algumas restrições que não podem ser ignoradas:

1. A primeira é que os reatores químicos são equipamentos industriais. Isso elimina todos os equipamentos e vidraria que realizam reações fora do contexto industrial. Então, não são reatores químicos as vidrarias e os equipamentos laboratoriais que realizam reações como parte de procedimentos analíticos e sintéticos. São exceções, as réplicas em pequena escala construídas para fins de simulação e desenvolvimento de processos ou como parte de um procedimento de “scale up”.

2. A segunda restrição é que o produto visado seja um dos produtos da reação que ocorre no reator.  Por exemplo, nas fabricas de papel e celulose a matéria prima, usualmente madeira, é digerida com soda. A soda reage com um dos componentes da madeira, a lignina, transformando-a em lignato de sódio solúvel, que sai do digestor na forma de uma solução altamente poluente conhecida como lixivia preta. A celulose, que é o produto desejado, passa incólume pelo processo para se constituir no produto industrial desejado. Como a celulose não é produto da reação, o digestor não é um reator químico no sentido exato do termo. O objetivo é separar a celulose da lignina. Com isso, o digestor vai cair em operações unitárias na capitulo dos equipamentos que realizam separações reativas.

3. A terceira restrição exclui os equipamentos que realizam reações visando a produção de energia. Estão neste caso, as fornalhas que queimam óleo combustível para fins energéticos. Paradoxalmente, as fornalhas que queimam óleo para produção de negro de fumo são reatores químicos já que o negro de fumo é o produto da reação.

Antes de seguir em frente, é importante lembrar que os reatores químicos são raramente conhecidos por este nome. Em geral, eles são nomeados de acordo com a transformação que realizam ou pela marca do fabricante. O termo reator químico é mais usado no mundo acadêmico.
A preocupação com uma boa definição se deve ao desejo não perder o rumo nas etapas seguintes. Estudar reatores é como andar num labirinto de possibilidades.

Carboidratos

Fazendo uma busca na Internet para a palavra carboidrato o buscador nos leva invariavelmente para um site de nutrição. Quem faz regime se preocupa  com eles.  Aqui eles são vistos sob o ponto de vista estritamente químico. O nome carboidrato vem do termo hidrato de carbono, sugerindo uma mistura de carbono com água. A formula geral é

C_nH_2nO_n 

_{Outra forma de representar um carboidrato seria}

(CH2O)n

A molécula deve ser construída de tal forma que a, cada molécula de carbono, corresponda uma molécula de água.

A seguir é mostrado um carboidrato com 8 carbonos. Observe que existe um grupo aldeído  na extremidade a direita para fechar o balanço atômico.

 

 

O nome deste carboidrato é aldooctose. Se o número de carbonos fosse 6, ele seria um Aldo hexose. Se fosse cinco, seria uma Aldo pentose e por ai vai.

É possível fechar o balanço atômico substituindo o grupo aldeído por um grupo cetona. Neste caso, a designação certo apareceria no nome.

Assim, a certo octose ficaria com a seguinte estrutura

 

No caso de seis carbonos seria uma cetohexose e assim por diante. O menor carboidrato possível é aquele om dois carbonos, o aldodiose. 

 

Na construção das moléculas de carboidratos as hidroxilas devem ser colocadas em carbonos diferentes. A regra de Erlenmeyer impede que duas hidroxilas se liguem ao mesmo carbono. Isso reduz os arranjos possíveis. Respeitada esta regra as hidroxilas podem ficar no mesmo lado (modo isotáctico), se posicionar alternativamente de uma lado e de outro ( modo isotáctico), ou se colocarem de forma aleatória (modo atáctico). Todos os carboidratos são monossacarídeos. A união em cadeia deles resulta nos vários polissacarídeos conhecidos.

Os carboidratos, pela presença de carbonos assimétricos apresentam isomeria ótica. O número de estereoisomeros é  dois elevado a N, onde N é o numero de carbonos assimétricos na molécula.

Nomeando identificadores

Identificadores são nomes dados a lugares na memória RAM para armazenar dados. O JAVA é muito maleável  neste aspecto e aceita nomes longos, como o nome completo de D. Pedro I. Como o JAVA usa o Unicode o nome pode ser escrito em cirílico, japonês, mandarim, árabe, etc.  A escolha de um nome curto demais torna a tarefa de ler o programa um teste de adivinhação. Uma frase como aceleraçãocentrifuga está bom demais. A separação das palavras usando o sublinhado é melhor ainda, Neste caso, o exemplo ficaria aceleração_centrifuga. Não sei porque eu não gosto de usar sublinhado. Outra saída é usar a chamada notação camelo, iniciando as palavras  com letras maiúsculas. Neste caso, o exemplo usado fica AceleraçãoCentrífuga.  Na notação hungara uma letra é colocada no inicio do nome do identificador indicando o tipo de dados. Por exemplo, se aceleraçãocentrífuga vai armazenar um número real do tipo long então a letra l é colocada no início do nome resultando laceleração_centrifuga. arghhhh

Primeiro principio da termodinâmica

Ele é mais conhecido como principio da conservação da energia. e reza que a energia não pode ser criada e nem destruída. Considerando um sistema, a versão matemática  deste principio: a variação da energia  interna de um sistema é a soma das energias que atravessam a fronteira do sistema

Assim

Na esquerda está a variação de energia do sistema e na direita estão os trabalhos. A cada trabalho está associado um tipo de movimentação de energia.  O calor é uma forma de trabalho? A resposta é sim, mas trata-se  de uma modalidade degradada que não se recupera e nem se  transforma em outra modalidade de trabalho com  aproveitamento próxima a 100%. Uma termodinâmica construída com base na energia interna, no calor e uma única forma de trabalho é dita simples.Se mais de um trabalho for considerado a Termodinâmica é dita complexa. Tradicionalmente, o primeiro principio só considera trabalho o mecânico de expansão/ de gases e vapores.  Se outra modalidade de trabalho se inserir o primeiro princípio não fecha. Se o primeiro principio for aplicado a um reator fotoquímico, então o trabalho fotonico não pode ser ignorado e a movimentação de fótons através da fronteira do sistema tem que ser contabilizada. No caso de uma célula eletroquímica, o trabalho elétrico não pode  ser empurrado para debaixo do tapete.

Se a matéria atravessar a fronteira ela leva junto todo o seu conteúdo energético.  Isso significa que, nos sistemas abertos, o trabalho de movimentação material deve ser incluído no membro a direita.

Finalmente, nos sistemas onde ocorre expansão/contração o trabalho é

Neste caso, a força é a pressão e o deslocamento é a variação de volume. Numa célula eletroquímica a força é a  a força eletromotriz e o deslocamento é a carga. Agora é cada um por si. Perai. No caso do trabalho térmico? Neste caso a força é a temperatura e o deslocamento é a entropia,

 

 

Neste último caso, a força é temperatura absoluta e o deslocamento é a entropia.  A unidade SI de trabalho é o watts.  Isso serve como bússola na escolha.

EDP 001 - Classificação das equações de primeira ordem

A forma geral das equações  diferenciais parciais de primeira ordem é

Nesta equação, x e y são variáveis independentes. u é uma função desconhecida destas variáveis. A equação contém as derivadas parciais de primeira ordem d função desconhecida em relação às variáveis independentes. Esta é a forma geral das equações diferenciais de primeira ordem.

 

Na equação a seguir, a EDP é do primeiro grau em relação as derivadas. Todos os outros termos são funções de x, y e u. Neste caso a equação é dita quase linear

 

 

Se u não aparecer  em r a equação é dita estritamente linear. A equação abaixo é a forma geral das equações estritamente lineares..  

   

 

Na equação acima  a equação é do primeiro grau em relação as derivadas parciais. Se a equação é do primeiro grau na função desconhecida e todas as suas derivadas ela é dita linear.

 

 

Aproximação de Boussinesq

Esta é uma aproximação da equação do movimento direcionada a escoamentos causados por pequenas  diferenças de densidades como acontece na convecção natural. Serve, também para modelar ondas longas em superfícies de líquidos.
A condição de validade desta aproximação é que a diferença de densidade seja pequena. O que realmente importa é que esta diferença possa ser desprezada. Vale também para escoamento bifásicos tipo líquido-líquido, respeitada a condição de baixa diferença de densidade. Ela é também usada nos movimentos atmosféricos e oceânicos. No caso de movimento gás-líquido esta aproximação não se aplica. A causa da diferença de densidade tanto pode ser uma diferença de temperatura como uma diferença de composição.
A equação de Boussinesq com duas variáveis independentes pode ser escrita da seguinte forma

A condição para uso da equação de Boussinesq é que o número de Richardson, que é a razão entre as energias potencial e cinética seja próximo da unidade. Se for muito menor o empuxo é insuficiente, se for muito maior a energia cinética é insuficiente.

O número de Richardson serve como fronteira entre as convecção natural e forçada. Abaixo de um é convecção forçada e acima de um convecção natural natural. Na aeronáutica este número serve para delimitar regimes de escoamento (laminar/turbulento).

Joseph Valentin Boussinesq nasceu em 13 de março de 1842. Ele foi um matemático-físico francês que contribuiu para significativamente para o desenvolvimento da hidrodinâmica, calor e luz. A partir de 1872 até 1886 ensinou cálculo diferencial e integral. Em 1896 ingressou na Faculdade de Ciência de Paris onde ensinou mecânica até a sua aposentadoria em 1918. Morreu em 13 de março de 1929.

Açucares redutores e não redutores

Um açúcar é dito redutor se ele possui na molécula um grupo aldeído ou cetona. Estão também incluídos no grupo dos açucares redutores os açucares que não possuem este grupo, mas são capazes de formar este grupo quando em solução por isomerismo.

A glucose é um açúcar redutor pois tem o grupo aldeído. Já a maltose não possui o grupo aldeído, mas, em solução, o grupo aldeído aparece por isomerismo. A sacarose é um exemplo de açúcar não redutor, que, por hidrólise, produz dois açucares redutores, a glucose e a frutose que possuem o grupo aldeído.

Reatores químicos

Os reatores químicos são equipamentos que realizam reações em escala industrial visando a transformação de matérias primas disponíveis em produtos úteis.  A reação deve ser obrigatoriamente o agente transformador.


Acima está um conversor de amônia KAAP. Este reator processa a reação entre o hidrogênio e o nitrogênio para formar a amônia, que é o produto desejado. A reação ocorre em condições de temperatura e pressão elevadas na presença de um catalisador específico a base de ferro.


Também não são considerados reatores químicos os equipamentos que realizam reações em escala industrial com a finalidade exclusiva de produção de energia. Por exemplo, a fornalha que queima óleo para produção de vapor não é um reator, mas a fornalha que queima óleo para a produção de negro de fumo é.


Acima está uma fornalha geradora de vapor. São exceções as réplicas, em pequena escala de reatores industriais, destinados à simulação, pesquisa e desenvolvimento do equipamento industrial.
Em princípio qualquer equipamento industrial pode ser um reator químico, pois a reação pode ser realizada numa válvula misturadora, numa coluna de destilação, num bico ejetor, etc. Obviamente, a principal restrição é que a reação seja intencional e que vise a transformação química de matérias primas em produtos comercializáveis.

Aerossóis

Qualquer partícula em suspensão na atmosfera é conhecida como aerossol. As partículas podem ser líquidas e sólidas.

A faixa de tamanhos dos aerossóis vai de 0,001 mícron até 100 mícrones. Aerossóis até 10 mícrones demoram para sedimentar e a partir deste tamanho a sedimentação ocorre em minutos.

Os aerossóis constituídos por células vivas são chamados bioaerossóis e abrange os vírus, as bactérias, os polens, os ácaros, etc.

Os aerossóis mais finos são formados por combustão e seus tamanhos vão até 2,5 mícrones. São exemplos as fumaças e fuligens. Os menores aerossóis são as fumaças metalúrgicas cujos tamanhos podem ficar abaixo de 0,01 mícron. A fumaça metalúrgica, por exemplo, produz aerossóis com tamanhos inferiores a 0,01 mícron Os aerossóis mais grosseiros são produzidos por erosão e impactos e são maiores do que 2,5 mícrones. Um eixo girando num mancal produz partículas de graxa e metal por erosão. A descarga produz partículas de água misturada com fezes e urinas por impacto. Daí a recomendação de que a descarga seja feita com a tampa fechada.

Como os processos de formação são diferenciados, a curva de distribuição de tamanhos pode ser bi ou, até mesmo trimodal. Cada pico está ligado a forma de formação das partículas.

Na engenharia química os aerossóis estão ligados a qualidade do ar nos diversos ambientes de trabalho. Eles são gerados não apenas na linha de produção, mas também no ambiente administrativo.

Fluidos reopéticos e tixotrópicos

Os fluidos são classificados pela relação entre a tensão e a taxa de deformação em newtonianos e não-newtonianos. Os fluidos newtonianos se caracterizam pela linearidade entre a tensão de cisalhamento e o tensor taxa de deformação. O fator de proporcionalidade é a viscosidade do fluido. Esta relação é conhecida como lei da viscosidade de Newton.

Nos fluidos não-newtonianos esta relação é não linear e a viscosidade perde o seu sentido. De uma forma geral

É possível linearizar a função não-newtoniana num ponto e definir uma “viscosidade aparente” neste ponto a partir da função linearizada. Aqui duas situações são possíveis: a viscosidade cresce com a taxa de deformação ou a viscosidade decresce com a taxa de deformação. No primeiro caso, o fluido é classificado como dilatante e, no segundo, como pseudoplásticos. Eles não apresentam histerese.

Até aqui foram considerados o comportamento da viscosidade com a taxa de deformação assumindo que o ajuste seria instantâneo. Alguns fluidos, porém, levam um tempo para atingir a viscosidade de equilíbrio. Estes fluidos cujas viscosidades variam com o transcorrer do tempo a taxa de deformação constante são chamados de reopéticos e tixotrópicos. Eles apresentam o fenômeno conhecido como histerese. Nos fluidos tixotrópicos a viscosidade decresce com a taxa de deformação e nos fluidos e nos fluidos reopéticos a velocidade cresce com a taxa de deformação.

Pontos singulares de EDO de segunda ordem

Dada uma equação de segunda ordem na forma geral

Se os limites


forem finitos o ponto x₀ será denominado ponto ordinário da equação diferencial. Se um ou ambos os limites convergirem o ponto x_0­ será um ponto singular da equação. Neste caso, os limites a seguir serão analisados:


Se um destes limites divergir, o ponto singular o ponto singular é dito essencial ou não removível. Se os limites convergirem para um valor finito o ponto singular será dito regular ou removível. Para verificar se infinito é ponto ordinário ou singular basta fazer a mudança de variável

E repetir a análise acima para z = 0. A seguir algumas equações e seus respectivos pontos singulares.
1. Equação hipergeométrica

Esta equação tem pontos singulares regulares em 0, 1 e infinito. Todos os demais pontos são ordinários. Ela não tem nenhum ponto singular essencial.
2. Equação de Legendre

Os pontos singulares regulares desta equação são -1, +1 e infinito. Não tem ponto singular essencial. Todos os demais pontos são ordinários.
3. Chebishev

A equação de Chebishev tem as mesmas singularidades regulares encontradas em Legendre, isto é, em -1, +1 e infinito. Não possui singularidade essencial
4. Confluente hipergeométrica

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e outro ponto singular não removível em infinito. Os demais pontos são ordinários.
5. Bessel

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e um ponto singular não removível em infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
6. Laguerre

Os pontos singulares são zero e infinito. O ponto zero é uma singularidade regular e o ponto infinito é uma singularidade irregular. Todos os demais pontos são ordinários.
7. Oscilador harmônico simples

O ponto singular essencial estão localizado no infinito. Todos os demais pontos são pontos ordinários.
8. Hermite

Tem um ponto singular não removível no infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
E dai? Tudo vai depender de onde está colocada a condição inicial. Nos pontos ordinários o simples desenvolvimento em série produz o par de soluções analíticas linearmente independentes. Nos pontos singulares regulares o método a ser usado é o de Frobenius. Simplesmente desenvolver em série de potencia não vai funcionar. Se a condição inicial cair num ponto singular irregular é bronca.

Composição do gás natural

É variável, por isso a composição é dada a seguir é dada por faixas de valores.

Metano                     70% a 90%

Etano                           0%   a  20%

Propano                    Traço

Butano                       Traço

Gás carbônico         0%  a  8%

Oxigênio                    0%  a  0,2%

Nitrogênio                0%   a   5%

Gás sulfidrico           0%  a  5%

Gases raros                Traço

Intensificação da produção de petróleo por injeção de água

Uma forma de intensificar a produção de petróleo consiste em injetar água na fronteira do lençol. Este método funciona bem se a rocha armazenadora for areia ou arenito com permeabilidade alta sem a ocorrência de falhas. Se a rocha armazenadoras for carbonácea o método não funciona bem.

A figura acima ilustra a técnica. A região cinza  é o lençol de petróleo. Obviamente, esta região está coalhada de poços produtores. Se o lençol for muito extenso poços injetores devem ser colocado dentro do lençol e vários arranjos são possíveis.
Para obter a água necessária vale tudo: mar, lagos, rios, aquíferos, etc. No entanto existem restrições.
1. a agua deve ser tão limpa quanto possível com poucas partículas em suspensão;
2. a água não deve conter sulfeto de hidrogênio e nem dióxido de carbono para reduzir a corrosão dos equipamentos;
3. a água injetada não deve reagir com a água de formação com entupimento dos poros;
4. a água não deve conter matérias orgânicas e nem microrganismos como bactéria e algas.

Airy functions

A função de Airy Ai(x) e Bairy Bi(x) são soluções linearmente independentes da equação diferencial

Esta equação diferencial de segunda ordem é conhecida como equação diferencial de Airy. Ela é também conhecida como equação diferencial de Stokes. Esta função pode ser vista detalhadamente no livro “Handbook of Mathematical Functions” de Abramovitz e Stegun editado pela Dover. Ela pode ser encontrada no Maple e no MatLab.

Esta função aparece na ótica física, na solução da equação de Schroedinger, nas ondas gravitacionais em superfícies de líquidos.No meu caso ela surgiu na prova de Fenômenos de Transporte ministrada na COPPE pelo Prof.Edgar Vieira em 1969 da qual eu era aluno.

Equação cúbica

Estas equações são conhecidas como equações polinomiais do terceiro grau. Todos sabem que as equações até o quarto grau tem solução algébrica. Particularmente, não consigo imaginar porque não são todas estudadas no nível médio. Acima do quarto grau as equações polinomiais só tem solução para casos particulares. Estes casos são identificados usando a teoria dos grupos de Galois. Esta foi a grande façanha de Galois e que deu origem a chamada teoria dos grupos.
O engenheiro calculista defronta-se com equações cúbicas na abordagem de equações de estado ditas da família de van der Waals, tais como Redlich-Kwong, Redlich Kwong-Soave, Peng Robinson, etc.
A forma geral das cúbicas é

O primeiro passo para a solução destas equações consiste em reduzi-las a forma sem o termo de segundo grau

usando a transformação

A solução desta equação é dada por

Se todos os coeficientes da cúbica forem reais e se R>0 duas raízes serão complexas e uma será real. R=0, todas as raízes serão reais e, das quais, duas serão iguais. Se R<0 as raízes serão reais e desiguais. Neste caso, as fórmulas acima não funcionam e rota é outra

Considerando o sinal –/+, o sinal – se aplica quando q > 0 e o sinal + quando q < 0. O algoritmo é muito bonito, mas dá um cráu na cabeça da maioria das pessoas. Para estas pessoas, o melhor é usar o método iterativo. Neste caso, o chute inicial fica por conta da equação dos gases ideais. Calcular na munheca é mais simples e rápido.

A solução geral das cúbicas é atribuída a Cardano, mas na realidade pertence a Tartaglia. Para entender, é  necessário lembrar que, naquela época, fulano propunha um problema matemático que ninguém conseguia resolver a não ser ele próprio. Com isso, se tornava o tampa da matemática. Foi o que Tartaglia fez. Ele conhecia a solução das cúbica e das quárticas. Cardano procurou Tartaglia rogando que o ensinasse resolver as cúbicas. Jurando não publicar antes de Tartaglia. Penalizado Tartaglia cedeu. Cardano mais do que rapidamente publicou a solução em sua obra "Ars Magna".
Tartaglia tem história.  Sua mãe foi morta por um soldado. O golpe de sabre que matou a mãe atingiu a cabeça do bebe que foi dado como morto. Milagrosamente, Tartaglia sobreviveu. Era uma figura, com a cicatriz do corte na cabeça e gago. O nome Tartaglia significa gago. O seu verdadeiro nome era Nicollo Fontana. Vivia no cemitério e usava os túmulos como quadro negro.

Erro relativo de uma radiciação

A função estudada é

Deseja-se o erro relativo no cálculo de u conhecendo-se o erro relativo de x. Usando a formula geral de cálculo de erros obtém-se

O erro relativo de uma raiz de índice m é m vezes menor do que o erro relativo do radicando. Simples e fácil de memorizar.