Aproximação de Boussinesq

Esta é uma aproximação da equação do movimento direcionada a escoamentos causados por pequenas  diferenças de densidades como acontece na convecção natural. Serve, também para modelar ondas longas em superfícies de líquidos.
A condição de validade desta aproximação é que a diferença de densidade seja pequena. O que realmente importa é que esta diferença possa ser desprezada. Vale também para escoamento bifásicos tipo líquido-líquido, respeitada a condição de baixa diferença de densidade. Ela é também usada nos movimentos atmosféricos e oceânicos. No caso de movimento gás-líquido esta aproximação não se aplica. A causa da diferença de densidade tanto pode ser uma diferença de temperatura como uma diferença de composição.
A equação de Boussinesq com duas variáveis independentes pode ser escrita da seguinte forma

A condição para uso da equação de Boussinesq é que o número de Richardson, que é a razão entre as energias potencial e cinética seja próximo da unidade. Se for muito menor o empuxo é insuficiente, se for muito maior a energia cinética é insuficiente.

O número de Richardson serve como fronteira entre as convecção natural e forçada. Abaixo de um é convecção forçada e acima de um convecção natural natural. Na aeronáutica este número serve para delimitar regimes de escoamento (laminar/turbulento).

Joseph Valentin Boussinesq nasceu em 13 de março de 1842. Ele foi um matemático-físico francês que contribuiu para significativamente para o desenvolvimento da hidrodinâmica, calor e luz. A partir de 1872 até 1886 ensinou cálculo diferencial e integral. Em 1896 ingressou na Faculdade de Ciência de Paris onde ensinou mecânica até a sua aposentadoria em 1918. Morreu em 13 de março de 1929.

Açucares redutores e não redutores

Um açúcar é dito redutor se ele possui na molécula um grupo aldeído ou cetona. Estão também incluídos no grupo dos açucares redutores os açucares que não possuem este grupo, mas são capazes de formar este grupo quando em solução por isomerismo.

A glucose é um açúcar redutor pois tem o grupo aldeído. Já a maltose não possui o grupo aldeído, mas, em solução, o grupo aldeído aparece por isomerismo. A sacarose é um exemplo de açúcar não redutor, que, por hidrólise, produz dois açucares redutores, a glucose e a frutose que possuem o grupo aldeído.

Reatores químicos

Os reatores químicos são equipamentos que realizam reações em escala industrial visando a transformação de matérias primas disponíveis em produtos úteis.  A reação deve ser obrigatoriamente o agente transformador.


Acima está um conversor de amônia KAAP. Este reator processa a reação entre o hidrogênio e o nitrogênio para formar a amônia, que é o produto desejado. A reação ocorre em condições de temperatura e pressão elevadas na presença de um catalisador específico a base de ferro.


Também não são considerados reatores químicos os equipamentos que realizam reações em escala industrial com a finalidade exclusiva de produção de energia. Por exemplo, a fornalha que queima óleo para produção de vapor não é um reator, mas a fornalha que queima óleo para a produção de negro de fumo é.


Acima está uma fornalha geradora de vapor. São exceções as réplicas, em pequena escala de reatores industriais, destinados à simulação, pesquisa e desenvolvimento do equipamento industrial.
Em princípio qualquer equipamento industrial pode ser um reator químico, pois a reação pode ser realizada numa válvula misturadora, numa coluna de destilação, num bico ejetor, etc. Obviamente, a principal restrição é que a reação seja intencional e que vise a transformação química de matérias primas em produtos comercializáveis.

Aerossóis

Qualquer partícula em suspensão na atmosfera é conhecida como aerossol. As partículas podem ser líquidas e sólidas.

A faixa de tamanhos dos aerossóis vai de 0,001 mícron até 100 mícrones. Aerossóis até 10 mícrones demoram para sedimentar e a partir deste tamanho a sedimentação ocorre em minutos.

Os aerossóis constituídos por células vivas são chamados bioaerossóis e abrange os vírus, as bactérias, os polens, os ácaros, etc.

Os aerossóis mais finos são formados por combustão e seus tamanhos vão até 2,5 mícrones. São exemplos as fumaças e fuligens. Os menores aerossóis são as fumaças metalúrgicas cujos tamanhos podem ficar abaixo de 0,01 mícron. A fumaça metalúrgica, por exemplo, produz aerossóis com tamanhos inferiores a 0,01 mícron Os aerossóis mais grosseiros são produzidos por erosão e impactos e são maiores do que 2,5 mícrones. Um eixo girando num mancal produz partículas de graxa e metal por erosão. A descarga produz partículas de água misturada com fezes e urinas por impacto. Daí a recomendação de que a descarga seja feita com a tampa fechada.

Como os processos de formação são diferenciados, a curva de distribuição de tamanhos pode ser bi ou, até mesmo trimodal. Cada pico está ligado a forma de formação das partículas.

Na engenharia química os aerossóis estão ligados a qualidade do ar nos diversos ambientes de trabalho. Eles são gerados não apenas na linha de produção, mas também no ambiente administrativo.

Fluidos reopéticos e tixotrópicos

Os fluidos são classificados pela relação entre a tensão e a taxa de deformação em newtonianos e não-newtonianos. Os fluidos newtonianos se caracterizam pela linearidade entre a tensão de cisalhamento e o tensor taxa de deformação. O fator de proporcionalidade é a viscosidade do fluido. Esta relação é conhecida como lei da viscosidade de Newton.

Nos fluidos não-newtonianos esta relação é não linear e a viscosidade perde o seu sentido. De uma forma geral

É possível linearizar a função não-newtoniana num ponto e definir uma “viscosidade aparente” neste ponto a partir da função linearizada. Aqui duas situações são possíveis: a viscosidade cresce com a taxa de deformação ou a viscosidade decresce com a taxa de deformação. No primeiro caso, o fluido é classificado como dilatante e, no segundo, como pseudoplásticos. Eles não apresentam histerese.

Até aqui foram considerados o comportamento da viscosidade com a taxa de deformação assumindo que o ajuste seria instantâneo. Alguns fluidos, porém, levam um tempo para atingir a viscosidade de equilíbrio. Estes fluidos cujas viscosidades variam com o transcorrer do tempo a taxa de deformação constante são chamados de reopéticos e tixotrópicos. Eles apresentam o fenômeno conhecido como histerese. Nos fluidos tixotrópicos a viscosidade decresce com a taxa de deformação e nos fluidos e nos fluidos reopéticos a velocidade cresce com a taxa de deformação.

Pontos singulares de EDO de segunda ordem

Dada uma equação de segunda ordem na forma geral

Se os limites


forem finitos o ponto x₀ será denominado ponto ordinário da equação diferencial. Se um ou ambos os limites convergirem o ponto x_0­ será um ponto singular da equação. Neste caso, os limites a seguir serão analisados:


Se um destes limites divergir, o ponto singular o ponto singular é dito essencial ou não removível. Se os limites convergirem para um valor finito o ponto singular será dito regular ou removível. Para verificar se infinito é ponto ordinário ou singular basta fazer a mudança de variável

E repetir a análise acima para z = 0. A seguir algumas equações e seus respectivos pontos singulares.
1. Equação hipergeométrica

Esta equação tem pontos singulares regulares em 0, 1 e infinito. Todos os demais pontos são ordinários. Ela não tem nenhum ponto singular essencial.
2. Equação de Legendre

Os pontos singulares regulares desta equação são -1, +1 e infinito. Não tem ponto singular essencial. Todos os demais pontos são ordinários.
3. Chebishev

A equação de Chebishev tem as mesmas singularidades regulares encontradas em Legendre, isto é, em -1, +1 e infinito. Não possui singularidade essencial
4. Confluente hipergeométrica

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e outro ponto singular não removível em infinito. Os demais pontos são ordinários.
5. Bessel

Esta equação tem um ponto singular removível em zero e um ponto singular não removível em infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
6. Laguerre

Os pontos singulares são zero e infinito. O ponto zero é uma singularidade regular e o ponto infinito é uma singularidade irregular. Todos os demais pontos são ordinários.
7. Oscilador harmônico simples

O ponto singular essencial estão localizado no infinito. Todos os demais pontos são pontos ordinários.
8. Hermite

Tem um ponto singular não removível no infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
E dai? Tudo vai depender de onde está colocada a condição inicial. Nos pontos ordinários o simples desenvolvimento em série produz o par de soluções analíticas linearmente independentes. Nos pontos singulares regulares o método a ser usado é o de Frobenius. Simplesmente desenvolver em série de potencia não vai funcionar. Se a condição inicial cair num ponto singular irregular é bronca.

Composição do gás natural

É variável, por isso a composição é dada a seguir é dada por faixas de valores.

Metano                     70% a 90%

Etano                           0%   a  20%

Propano                    Traço

Butano                       Traço

Gás carbônico         0%  a  8%

Oxigênio                    0%  a  0,2%

Nitrogênio                0%   a   5%

Gás sulfidrico           0%  a  5%

Gases raros                Traço