Retornando ao volume de controle usado na dedução da equação da continuidade e aplicando a lei da inércia de Newton cujo enunciado diz que a taxa de variação da quantidade de movimento neste volume é igual a vazão de quantidade de movimento através da fronteira do volume mais a soma das forças que atuam sobre o volume. Considerando as forças atuantes podemos classificá-las em forças de campo e forças superficiais. As forças de campo se devem ao fato do volume estar imerso num campo de força. São campos de força os campos gravitacional, eletrico e magnético. Apenas o primeiro será considerado. A força superficial se deve ao contato entre o fluido dentro e fora do volume na fronteira deste. O arraste viscoso é um exemplo. As forças superfíciais são englobadas num operador T que multiplicado escalarmente pela normal a superfície resulta na força. Este operador é uma matriz 3x3 conhecida como tensor tensão (strain tensor). Efetuando o blanço matemáticamente resulta
Introduzindo a derivada dentro da integral e aplicando e aplicando o teorema da divergência de Gauss às integrais de superficie resulta
Fazendo um rearranjo algébrico ressulta
O termo entre colchetes é a equação da continuidade e, por isso, nulo. Com isso a equação acima se reduz a
Como o volume V é arbitrário a ígualdade acima só se verifica se
que é conhecida como equação geral do movimento de Cauchy. Esta equação é o ponto de partida para a dedução das equações de Navier-Stokes-Poisson e Navier-Stokes que regem os fluidos newtonianos compressíveis e incompressiveis, respectivamente. Ela também é a base para os chamados fluidos não newtonianos.
Caro professor Carlos, eu sou formado em Engenharia Química a mais de dez anos, faz muito tempo que não atuo na área e quando vejo cálculos tão complexos como os apresentados nesta postagem, e me sinto um "burro". O senhor tem alguma recomendação de por onde devo começar a pesquisar para relembrar esses cálculos que, com certeza eu já vi, mas que não consigo mais me lembrar? Tem momentos em que eu considero que não deveria nem ser chamado de engenheiro por não saber alguns cálculos matemáticos.
ResponderExcluirA não ser atue numa área inovadora, os engenheiros raramente se deparam com cálculo deste nível de abstração. Alias, tudo o que fiz acima poderia ser feito de uma forma mais simples, mas a dedução demandaria em torno de cinco rolagens de tela.Eu procuro manter tudo dentro do espaço de uma tela e meia. Um livro que chega ao mesmo resultado por uma rota menos íngreme é Fenômeno de Transporte do Bird.
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