quinta-feira, 8 de julho de 2010

DNL 001 – Atratores e repulsores

Considere a equação diferencial de primeira ordem autônoma

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É possível traçar um gráfico da derivada versus u. Este gráfico ficaria assim

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A forma exata da curva depende da função no membro a direita da equação diferencial. O ponto onde a curva cruza o eixo dos u, que corresponde a anulação da derivada chama-se ponto fixo da equação diferencial. Se a equação diferencial representa um sistema dinâmico este ponto corresponde ao estado estacionário do sistema, por isso também é conhecido como ponto de equilíbrio ou ponto estacionário.

No gráfico acima aparecem dois pontos fixos. Fora do ponto fixo, a derivada pode ser positiva ou negativa. Nas regiões onde a derivada é positiva u é crescente e nas regiões onde a derivada é negativa, decrescente.

Olhando para o gráfico, percebe-se que os pontos fixos estão representados por círculos, que podem ser branco ou pretos. Centrando a atenção no circulo preto, observa-se que u é crescente a esquerda e decrescente a direita. Então o circulo preto representa um ponto fixo atrator. Neste ponto a derivada é zero e a segunda derivada é negativa. Concentrando, agora, a atenção no circulo branco observa-se que u é decrescente a esquerda e crescente a direita. Então o circulo branco representa um ponto fixo repulsor. Neste ponto, a derivada se anula, mas a segunda derivada é positiva.

Estas não são as duas únicas possibilidades existem outras. Basta olhar nos gráficos a seguir

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Na curva (a) aparece um ponto fixo atrator a esquerda e repulsor a direita. Já na curva (b) aparece um ponto fixo atrator a direita e repulsor a esquerda.

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