EDP 001 – Equações de primeira ordem

Definição

Denomina-se equação diferencial parcial de primeira ordem a toda equação que relacione mais de uma variáveis independentes, uma função desconhecida destas variáveis e as derivadas parciais desta função.

Na engenharia química as variáveis independentes são o tempo, t, e as coordenadas espaciais cartesianas (x, y, z). Em geral é possível reduzir as variáveis espaciais a apenas uma mediante a mudança do referencial cartesiano para um referencial curvilíneo adequado. Neste caso, o número de variáveis independente seria dois (t, x). Alguns problemas estacionários levam a equações com duas variáveis independentes espaciais (x, y).

No que se refere à ordem das equações diferenciais, ela é a ordem da derivada parcial de mais alta ordem que nela aparece. Na engenharia química são raras as equações diferenciais parciais com ordem superior a segunda ordem. Por enquanto apenas equações de primeira ordem serão consideradas.

Classificação

A forma geral das EDP de primeira ordem é:

Se a EDP acima puder ser escrita da seguinte forma

onde r(x, y, u) é uma função não linear de u, ela será dita quasilinear.

Se  a equação puder ser escrita da seguinte forma

ela será dita semilinear. Comparando com a forma quasilinear, observa-se a ausencia de u  nas funções p e q.

Se a equação for linear em relação a u e suas derivadas ela é dita linear. A forma geral das equações lineares é

Se a equação não puder se enquadrar num dos casos acima ela será dita não linear.

EDP de primeira ordem na engenharia química

As EDPs de primeira ordem aparecem na cromatografia, nos trocadores de calor, na polimerização em batelada, nos reatores tubulares sem dispersão axial, na exploração de campos de petróleo maduros por injeção de água ou polímeros, em alguns problemas de otimização.