terça-feira, 22 de dezembro de 2009

EDO 11 – Equações exatas

Considere a equação diferencial

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Esta equação pode ser escrita da seguinte forma

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A primeira forma é conheciuda como forma normal e a segunda como forma diferencial.  Esta equação será exata se existir uma função

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onde alfa é uma constante tal que

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Esta função será a solução da forma diferencial se

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e

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A igualdade

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nos permite concluir que, para uma equação diferencial de primeira ordem seja uma equação exata, é necessário que

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Exemplo:- A equação abaixo

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Neste caso

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Como

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então a forma diferencial deste exemplo é exata.

Para resolver o ponto de partida é

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Integrando em relação a u resulta

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Repare que a constante de integração é função de t    uma vez que foi realizada uma integração parcial. Derivando esta última em relação a t, o resultado deve ser

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Exemplo – Considerando a equação diferencial do exemplo acima tem-se que

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e

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Logo

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Derivando em relação a t chega-se que

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que é a solução geral da equação diferencial.

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