Sistemas dinâmicos

Sistemas dinâmicos são aqueles que evoluem no tempo. Na engenharia química esta evolução é conhecida como regime transiente e pode ser verificado em todos os equipamentos e processos da indústria química, ocorrendo na partida e/ou no desligamento. No funcionamento normal a preferência cai sobre o regime estacionário.

Alguns sistemas são puramente dinâmicos. Por exemplo, uma dorna de produção de etanol em batelada evolui temporalmente até a exaustão do açucar. Ao chegar neste ponto ou um pouco antes dele a dorna é descarregada e preparada para receber nova carga. O regime estacionário não interessa neste caso, mas é bom lembrar que a exaustão do açucar é um ponto de equilíbrio onde o sistema para de funcionar. Já uma dorna continua funciona no regime estacionário, só saindo deste regime na partida e no desligamento.

Quando um sistema dinâmico evolui o destino final desta evolução pode ser:

1. O sistema se dirige para um regime estacionário onde deixa de ser dinâmico. Na matemática não linear, este regime estacionário recebe o nomes de ponto de equilíbrio, ponto fixo, ou ponto atrator. Este é o comportamento mais comum e desejado. Um sistema pode ter mais de um ponto de equilíbrio, neste caso alguns serão atratores, outros repulsores e alguns com carater misto atrator-repulsor.

2. No segundo caso, o sistema, após o transcurso de um certo tempo, retorna a um ponto por onde ele já tenha passado e fica repetindo o percurso ciclicamente. Este percurso ciclico é conhecido como ciclo limite. Como acontece com os pontos de equilíbrio o ciclo limite pode ser atrator, repulsor ou ter um carater misto. Um caso notável é o da oscilação química, reações que oscilam sem se dirigir para o estado estacionário.

3. O sistema pode rumar para valores infinitos de uma ou mais propriedades. Como o infinito não é atingível, antes disso o sistema entra em colapso.

4. Neste último caso, o sistema não vai para um ponto de equilíbrio, não volta a um ponto por onde já tenha passado e nem vai para o infinito. Este regime de funcionamento é conhecido como regime caótico e é objeto de estudo da teoria do caos. Um colorário deste comportamento é a extrema sensibilidade às condições iniciais. O estudo deste comportamento é objeto da teoria do caos.

Um exemplo de comportamento caótico pode ser visto no atrator estranho de Lorenz

http://www.sat.t.u-tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/Attract.html

Na evolução deste atrator parece existem cruzamentos na trajetória sugerindo um retorno a um ponto por onde a trajetória já tenha passado o que implicaria numa peridicodade. Isso, contudo, não acontece porque o que está sendo mostrado é a projeção no plano bidimensional de uma curva que evolui no espaço tridimensional.

Considerando um parâmetro manuseável, por exemplo, a vazão de alimentação, os pontos de equilíbrios podem ser estudados. Ai algumas coisas interessantes acontece como um ponto de equilibrio se bifurcar em dois, ou para um ciclo limite. O estudo deste comportamento é estudado na teoria da bifurcação.

A ocorrência de saltos é outro aspecto interessante dos sistemas dinâmicos. Uma pequena variação de um parâmetro leva a ocorrência de uma catástrofe. O sistema inicia um comportamento transiente indo para outro ponto de equilíbrio. O estudo deste comportamento é objeto da teoria da catástrofe. Por exemplo, o desabamento de um edificio sem causa aparente, a explosão de um reator.

Para saber mais, inclusive com aplicações à Física, Química, Biologia e Engenharia, procurem o livro

Steven H. Strogatz “Non linear dynamics and Chaos” Westview 1994

Para os que preferem literatura em português tem o livro

Nelson Fiedler-Ferrara e Carmen P. Cintra “Caos uma introdução” Editora Edgar Blucher 1995

Uma leitura fácil sobre a teoria da catástrofe é

Alexander Woodcock & Monte Davis Catástrofe Theory.