Considere novamente a equação diferencial de primeira ordem em sua forma geral
Para que a equação acima seja uma equação diferencial, o único termo de presença realmente obrigatória é a derivada.
CASO 1 – Equações sem a variável independente
Se faltar a variável independente, t, a equação fica
Se a equação representar um sistema dinâmico, a presença da variável independente, t, na equação indica existe um agente externo atuando sobre o sistema. Neste caso o sistema é dito não autônomo. A ausência da variável independente indica ausência de um agente externo agindo sobre o sistema. Neste caso, o sistema é dito autônomo.
a) derivada explicitável
Se a derivada for explicitável, então a equação acima fica
Para resolvê-la basta realizar a quadratura
Exemplo – Considere a equação
Neste caso,
b) derivada não explicitável
O problema surge quando não há como explicitar a derivada. Neste caso o roteiro é outro e envolve a definição das funções paramétricas
Estas funções devem ser tais que
Neste caso, a seguinte relação é muito útil:
Integrando em relação a x (variável paramétrica) resulta
A solução geral será o par de equações.
Se for possível eliminar a variável para métrica x obtém-se a solução geral na forma habitual. O que fica bem claro é que as equações paramétricas dependem da escolha de p(x) e q(x). O exemplo a seguir ilustra isso.
Exemplo – Considere a equação diferencial
Não foi testado se a derivada pode ser explicitada, mas a impressão que se tem é que, se for, a explicitação vai exigir um bocado de algebrismo. Isso, porém, não importa no momento em que apenas o método de solução está sendo considerado. Olhando para equação um possível par de equações paramétricas é:
Inserindo na equação diferencial observa-se fácilmente que ela se transforma na identidade
Seguindo o roteiro escrito acima tem-se que:
Integrando resulta
A solução geral da equação deste exemplo é, portanto, dada pelo par paramétrico
CASO 2 - Equações sem a função desconhecida
A forma geral destas equações é
A situação é bem parecida com o caso anterior.
a) Derivada explicitável
Se a derivada for explicitável, então,
A solução geral pode ser obtida por uma simples quadratura, que pode não ser tão simples.
Exemplo – Considere a equação
Por uma simples integração resulta
Então a solução geral desta equação é
b) Derivada não explicitável
Se a derivada não puder ser explicitada temos um caso semelhante ao anterior. Logo,
O roteiro a seguir é um pouco modificado. Fazendo:
Integrando resulta:
Então a solução édada pelo par
Esta é a solução geral procurada.
CASO 3 – A equação só possui a derivada
Se a equação contiver apenas a derivada
Trata-se de uma equação que deve ser resolvida como uma equação algébrica resultando um valor numérico para a derivada. Este valor pode existir ou não. Se existir pode ser um ou mais de um. Não importa, seja k este valor. Neste caso,
Integrando aparece como solução
Neste caso,
Inserindo esta relação na equação original obtém-se a solução geral
Esta é a equação da família de curvas a um parâmetro que satisfaz esta equação diferencial. Sendo, portanto, a solução geral da equação.
Exemplo – Considere a equação diferencial
Esta equação só contém a derivada e cai no caso acima. Então basta substituir a derivada para obter a solução geral
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