Extremo cansaço

Esta é uma outra piada acadêmica que circula pela Internet. Esta versão é dada como ocorrida na Universidade do Porto Portugal.

Uma professora universitária acabava de dar as últimas orientações aos alunos acerca do exame que ocorreria no dia seguinte.
Finalizou alertando que não haveria desculpas para a falta de nenhum aluno, com excepção de um grave ferimento, doença ou a morte de algum parente próximo.
Um engraçadinho que estava sentado no fundo da sala, perguntou com aquele velho ar de cinismo:
‘De entre esses motivos justificados, podemos incluir o de extremo cansaço por actividade sexual??’
A classe explodiu em gargalhadas, com a professora a aguardar pacientemente que o silêncio fosse estabelecido.
Assim que isso aconteceu, ela olhou para o palhaço e respondeu:
‘Isso não é um motivo justificado. ‘ - e continuou serenamente
- ‘Como o exame será de escolha múltipla, você pode vir para a sala e escrever com a outra mão… Ou se não puder se sentar, pode responder de pé.

EDO 005 – Equações incompletas

Considere novamente a equação diferencial de primeira ordem em sua forma geral

Para que a equação acima seja uma equação diferencial, o único termo de presença realmente obrigatória é a derivada.

CASO 1 – Equações sem a variável independente

Se faltar a variável independente, t, a equação fica

 

Se a equação representar um sistema dinâmico, a presença da variável independente, t, na equação indica existe um agente externo atuando sobre o sistema. Neste caso o sistema é dito não autônomo. A ausência da variável independente indica ausência de um agente externo agindo sobre o sistema. Neste caso, o sistema é dito autônomo.

a) derivada explicitável

Se a derivada for explicitável, então a equação acima  fica

 

Para resolvê-la basta realizar a quadratura

Exemplo – Considere a equação

Neste caso,

b) derivada não explicitável

O problema surge quando não há como explicitar a derivada. Neste caso o roteiro é outro e envolve a definição das funções paramétricas

Estas funções devem ser tais que

Neste caso, a seguinte relação é muito útil:

Integrando em relação a x (variável paramétrica) resulta

A solução geral será o par de equações.

Se for possível eliminar a variável para métrica x obtém-se a solução geral na forma habitual. O que fica bem claro é que as equações paramétricas dependem da escolha de p(x) e q(x). O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo – Considere a equação diferencial

Não foi testado se a derivada pode ser explicitada, mas a impressão que se tem é que, se for, a explicitação vai exigir um bocado de algebrismo. Isso, porém, não importa no momento em que apenas o método de solução está sendo considerado. Olhando para equação um possível par de equações paramétricas é:

Inserindo na equação diferencial observa-se fácilmente que ela se transforma na identidade

Seguindo o roteiro escrito acima tem-se que:

 

Integrando resulta

A solução geral da equação deste exemplo é, portanto, dada pelo par paramétrico

CASO 2 - Equações sem a função desconhecida

A forma geral destas equações é

A situação é bem parecida com o caso anterior.

a) Derivada explicitável

Se a derivada for explicitável, então,

A solução geral pode ser obtida por uma simples quadratura, que pode não ser tão simples.

Exemplo – Considere a equação

Por uma simples integração resulta

Então a solução geral desta equação é

b) Derivada não explicitável

Se a derivada não puder ser explicitada temos um caso semelhante ao anterior. Logo,

O roteiro a seguir é um pouco modificado. Fazendo:

Integrando resulta:

Então a solução édada pelo par

Esta é a solução geral procurada.

CASO 3 – A equação só possui a derivada

Se a equação contiver apenas a derivada

Trata-se de uma equação que deve ser resolvida como uma equação algébrica resultando um valor numérico para a derivada. Este valor pode existir ou não. Se existir pode ser um ou mais de um. Não importa, seja k este valor. Neste caso,

Integrando aparece como solução

Neste caso,

 

Inserindo esta relação na equação original obtém-se a solução geral

Esta é a equação da família de curvas a um parâmetro que satisfaz esta equação diferencial. Sendo, portanto, a solução geral da equação.

Exemplo – Considere a equação diferencial

Esta equação só contém a derivada e cai no caso acima. Então basta substituir a derivada para obter a solução geral

 

O que é Química Verde?

Química Verde é uma filosofia de abordagem dos processos químicos, que visa e encoraja o desenvolvimento de produtos e processos que resultem na redução do uso ou da geração de substãncias consideradas insalubres e/ou perigosas para o homem e para o ambiente. Não confundir com Química Ambiental que estuda as substâncias e reações que ocorrem na natureza, isto é , na biosfera e, por tabela, o destino funal dos  poluentes na natureza. A Química Verde ataca o problema na fonte. Isso significa que a Química Verde é focada na industria química e assemelhadas visando a solução dos problemas antes que eles apareçam. Por isso, é uma filosofia de abordagem que diz respeito mais ao engenheiro químico do que a qualquer outro profissional

Para tornar os processos químicos mais “verdes” as seguintes ações são recomendadas:

• repensar os métodos de produção inclusive com troca de materiais onde for possível;
• realizar as reações em condições diferentes principalmente no que diz respeito a uso de solventes e dando preferência à uso catalisadores e
• reduzir ao máximo possível o número de etapas envolvidas no processamento.

Os doze principios da química verde são:

1. Minimizar os resíduos;
2. Maximizar a quantidade de matérias primas convertidas em produtos;
3. Preferir produtos menos insalubres;
4. Preferir produtos seguros para os usuários;
5. Minimizar o uso de solventes preferindo os menos agressivos;
6. Minimizar o uso de energia;
7. Preferir materias primas renováveis;
8. Evitar a formação de subprodutos desnecessarios;
9. Preferir catalisadores a reagentes estequiométricos;
10. Preferir produtos biodegradáveis;
11. Monitorar continuamente a poluição gerada pelo processo e
12. Implementar ações de prevenção de acidentes.

Papel de nanofibras

Pesquisadores da Universidade de Kioto desenvolveram um papel óticamente transparente feito de nano fibras. A resistência mecânica e estabilidade térmica conferem vantagens sobre o vidro e materiais poliméricos para uso em artefatos eletrônico. O vidro possui estabilidade térmica, mas não possui flexibilidade. Já os materiais poliméricos flexíveis em sua maioria não possui estabilidade térmica.

Segundo Zhenan Bao, professor associado de engenharia química da Universidade de Stanford, a eletrônica transparente requer materiais transparentes.

A principal desvantagem é que se trata de um material inflamável e hidrofílico exigindo um tratamento que elimine estas qualidades.

O papel comum não é transparente devido ao espalhamento da luz nos interstícios entre as fibras. Este espalhamento não ocorre  no papel de nanofibras.

Para mais detalhes procurar o último número da revista Chemical & Engineering News de 30 de março de 2009. Lá está o caminho das pedras para outras referências para quem se interessar.

TD 012 – Propriedades extensivas e intensivas

Considere como sendo o sistema a água contida num recipiente, por exemplo, um balde. A capacidade do balde é de 20L e tem 5L de água em seu interior. Se forem adicionado mais 5L de água, o volume de água no recipiente passa a ser 10L. Se for acrescentado mais 5L, o volume do sistema passará a ser 15L. As propriedades que, como o volume, possuem propriedades aditivas são chamadas propriedades extensivas. São variáveis extensivas, com comportamento aditivo semelhante ao volume, a massa, o número de moles, a energia, etc.

Agora considere 5L de água a 50°C contido num recipiente. Se mais 5L de água a 50°C forem adicionados, o resultado será 10L de água a 50°C. Então a temperatura não tem a propriedade de aditividade sendo, por isso uma propriedade intensiva do sistema. São propriedades intensivas a pressão, a viscosidade, o índice de refração, etc.

Descoberta do polietileno

Hoje, em 1933 foi descoberto o polietileno por Reginald Gibson e Eric William Fawcett nos laboratórios da ICI – Imperial Chemical Industries. A descoberta foi acidental quando eles reagiam etileno com benzaldeido em altas pressões.

Na verdade esta foi a segunda descoberta acidental do polietileno. Em 1898, o químico alemão Hans von Pechman preparou acidentalmente um polímero quando aquecia diazometano. Quando seus colegas Eugen Bamberg e Friedrich Tschirner caracterizaram a substância deram o nome de polimetileno.

É muito comum algo ser descoberto várias vezes até que alguém deflagra a produção. Por exemplo, Fleming foi o sexto descobridor da penicilina, mas foi a partir de sua descoberta que a produção da penicilina começou. Então, a importancia da descoberta de hoje é que deflagrou a produção industrial deste polímero.

Acontece que, por uma razão misteriosa, a reação não era reproducível. Por isso, foram necessário dois anos para que outro químico da ICI, Michael Perrin, descobrisse que a reação era iniciada pela presença de traços de oxigênio. Em 1939, foi a iniciada a produção industrial pressionada pela necessidade de um bom isolante de fios e cabos.

Hoje existem muitos tipos de polietilenos escondidos nas siglas UHMWPE, HDPE, PEX, MDPE, LLDPE, LDPE, VLDPE, mas isso é outra história.

Em 28 de março de 2008, amanhã fará um ano, a Braskem anunciou uma nova rota de produção de polietileno verde a partir de matérias-primas 100% renováveis obtidas da cana de açucar. 

Onde morei em Birmingham

Durante o doutoramento na Inglaterra, de 1975 a 1977, morei na Oak Tree Lane uma rua bastante arborizada localizada no bairro de Bournville em Birmingham. Em 1974 em morava em Moseley. Foi o período mais tranquilo da minha vida.

Uma rua sossegada, bastante arborizada e de pouquíssimo movimento, como podem ver na foto a seguir. A câmara está localizada bem na frente do conjunto residencial casa onde morei.

Apontando a câmara para a esquerda vê-se a casa onde morei na foto abaixo. Eu entrava pela porta azul e as duas janelas terreas, mais próximas, eram do meu apartamento. 

O apartamento era composto de sala, quarto, cozinha  e banheiro e tinha aquecimento central termostatizado.

Birmingham é a segunda maior cidade da Inglaterra, tem o tamanho aproximado do Recife, com cerca de 1milhão de habitantes e centro de uma área metropolitana com mais de dois milhões de habitantes. Foi seriamente danificada pelos bombardeios na Segunda Guerra Mundial, por isso tem uma aparência moderna. Tem duas universidades: a Universidade de Birmingham a a Universidade de Aston. Estudei nesta.

Homenagem a Cláudio Hartkopf Lopes

Ele é meu irmão, referência nacional em açucar. Trabalha no campus da UFSCar em Araras, mas reside em Piracicaba. Para quem não o conhece é o primeiro a esquerda. Ele foi homenageado hoje, 26 de março, as 19h30, dia municipal do leonismo, pela Camara Municipal de Piracicaba. Ele entrou com a nora Camila e abriu o ciclo de discursos da noite falando sobre o leonismo no Brasil e no mundo e dos mais de 150 associados de Piracicaba que mantêm o companheirismo nos seis clubes da cidade.

TD 011 – Estado termodinâmico

O conjunto dos valores de todas as propriedades de um sistema denomina-se estado do sistema. Dois sistemas estarão no mesmo estado se os valores de todas as suas propriedades forem iguais. Se o valor de uma das propriedades for diferente, eles não estarão no mesmo estado. Felizmente, não é necessário medir os valores de todas as propriedades para saber o estado do sistema. Basta conhecer os valores de algumas delas. Todas as outras poderão ser calculadas a partir destas propriedades conhecidas, que, por isto, passam a serem chamadas variáveis termodinâmicas.

· REGRA DAS FASES DE GIBBS

A quantidade de propriedades que devem ser conhecidas para fixar o estado de um sistema chama-se variância. A variância de um sistema é determinada pela regra das fases de Gibbs a partir no número de componentes, C, o número de reações, R, e o número de fases, F. A fórmula que dá a variância do sistema é:

A variância é também conhecida como grau de liberdade do sistema e representa o número de propriedades que precisam ter seus valores fixados para que o estado do sistema fique completamente determinado.

Exemplo – Considere um sistema formado por uma substância pura num dos três estados sólido, líquido ou gasoso. Neste caso, C = 1, R = 0 e F = 1. Inserindo os valores na regra das fases resulta:

Então para determinar inequivocamente o estado de um sistema formado por uma substância pura basta conhecer duas variáveis. A preferência cai sobre a temperatura, T, e a pressão, P, por serem as propriedades mais fáceis de serem medidas. Em resumo, fixando a pressão e a temperatura o estado de um sistema constituído por uma substancia pura fica determinado. Todas as outras propriedades, viscosidade, tensão superficial, índice de refração, podem ser calculadas a partir destas, Isto é, passam a ser funções delas.

Exemplo  – Considere que o sistema é formado por uma substancia pura e que nele coexistam duas fases. Neste caso, C = 1, R = 0 e F = 2. Aplicando estes valores na regra das fases de Gibbs resulta:

Então para fixar o estado deste sistema é suficiente conhecer uma propriedade do sistema. Em geral a propriedade escolhida é a temperatura ou a pressão.

Para que a regra das fases de Gibbs possa ser aplicada é necessário que o sistema esteja em equilíbrio com a sua vizinhança. No equilíbrio, o estado do sistema é imutável. Para isso o sistema deverá estar em equilíbrio térmico e mecânico com a sua vizinhança. Então atenção, a regra das fases só vale para sistemas fechados e isolados em equilíbrio. Não se aplica a sistemas abertos.

PRÓXIMO: TD 12 – Variável Termodinãmica

O gêlo que queima

Como sempre faço todos os dias, leio cedinho o noticiário do dia, circulando pela Internet e percorrendo diversas fontes de informações, uma boa parte sobre engenharia e ciência. Uma delas é o Science Daily onde me deparei com o gêlo que queima que pode ser uma fonte importante de energia para o homem.

O gêlo que queima nada mais é do que hidrato de metano onde o metano fica “engaiolado” dentro do cristal de gêlo, sendo também conhecido como clatrato de metano ou gêlo de metano.Os clatratos de água são erroneamente conhecidos como hidratos, causando confusão com acúcares. Para que o gêlo de metano queime basta acender um fósforo e encostar nele. Eram vistos como um problema porque atacavam os dutos que se usavam para extrair gás natural. Hoje são tratados como futuras grandes fontes de energia. Maiores inclusive que as existentes na forma de bolsões de gás natural. Maiores inclusive que o restante dos hidrocarbonetos somados.

O hidrato de metano se forma quando o metano (gás natural) se mistura com água em baixas temperaturas e elevadas pressões. Estas condições ocorrem nos fundo dos oceanos. O que acontece é que estão sendo descobertas enormes jazidas nos oceanos onde o gás está na forma de hidrato de gás. Também pode ser encontrado nas camadas mais profundas do gêlo ártico. Isso despertou o interesse do U.S. Geological Survey, cujos pesquisadores estimaram que 85,4 trilhões de pés cubicos de gás natural poderiam ser extraidos do hidrato de metano existente no Alasca, suficiente para abastecer 100 milhões de lares durante uma década.

A composição média do hidrato de metano é de 1 mol de metano para cada 5,75 moles de água. No entanto a composição depende de quantas moleculas de metano cabem nas várias gaiolas ou cavidade formadas no cristal de gêlo. Estima-se que um quilo de hidrato de metano sólido contenha em média 187 litros de metano gasoso.

Para retirar o metano contido no hidrato basta despressurizar os depósitos. Outro método é substituir o metano pelo dióxido de carbono na estrutura do clatrato. A exploração segue a tradicional perfuração usada na exploração do petróleo e gas.

ScienceDaily (Mar. 24, 2009)

EDO 004 – Grau de uma equação diferencial

Se uma equação diferencial de primeira ordem for escrita como um polinômio na derivada, o grau deste polinômio é o grau da equação diferencial. A forma geral das equações de primeira ordem e grau n é:

Para equações de ordens superiores o polinômio deve ser  escrito em relação a derivada de maior ordem.

Se a equação diferencial resultar num polinômio de grau infinito nenhum grau poderá ser atribuído a equação diferencial correspondente. Esta equação (1.3.1) pode ser escrita, em princípio da seguinte forma:

 

Nem sempre é possível converter para a forma fatorada. A fatoração de equações diferenciais de grau n incorpora todas as dificuldades da fatoração de um polinômio algébrico de grau n, com a agravante que os coeficientes da forma polinomial não serem constantes, mas funções de u ou t.

Para que a equação seja satisfeita basta que qualquer um dos fatores se anule. Assim

Então uma equação de grau n é satisfeita por n famílias de curvas. Cada família é solução geral de um fator.

Exemplo – Considere a equação de primeira ordem e primeiro grau

Esta equação não é satisfeita por nenhum valor real da derivada, portanto, não tem solução.

Exemplo 1.4.2. – Considere, agora, a equação

A diferença entre esta e a equação do exemplo anterior reside apenas no sinal. Ela é satisfeita se for atribuído a derivada os valores +1 e -1. Fatorando resulta

Esta equação será satisfeita se

As soluções gerais são, respectivamente, as famílias de retas.

Curiosamente, as retas de uma família são perpendiculares as retas da outra família.

As equações de graus superiores tem esta peculiaridade, apresentam multiplicidade de soluções gerais. Não há como combinar estas soluções para obter uma solução geral única.