A macieira de Newton

Acho que nada precisa ser dito. Esta macieira é responsável por um dos maiores eventos da ciência. Apenas apreciem e meditem.

Monádica, diádica, triádicas, tetrádica,...

Normalmente, as grandezas físicas são classificadas em: escalares e vetoriais. As grandezas escalares são aquelas que podem ser completamente especificadas pelo seu valor num sistema de unidades. Este é o caso, por exemplo, da temperatura e da densidade. Já as grandezas vetoriais precisam, além do seu valor num sistema de unidades, da direção e sentido de atuação. Este é o caso da força e da velocidade.

Existem grandezas físicas que extrapolam esta classificação necessitando que mais direções e sentidos sejam especificados. Se a grandeza envolve duas direções e sentidos ela é uma diádica. Um exemplo é o gradiente de velocidade de um fluido que envolve duas direções e sentidos: a direção e o sentido da velocidade e a direção e o sentido do gradiente da velocidade. A diádica seria uma grandeza bi vetorial, a triádica, tri vetorial, a tetrádica, tetra vetorial e assim por diante. O vetor seria, então, uma monádica. E o escalar? Sei lá, mas zerádica seria um bom nome.

Tentando outra via de ataque, considere os produtos de vetores. Eles são dois: o produto interno ou escalar e o produto externo ou vetorial. O primeiro está intimamente associado com o trabalho realizado por uma força e o segundo com o momento de uma força. Estes produtos são bem conhecidos e não vale a pena perder tempo com eles.

O nosso objetivo é o produto direto de dois vetores. Então, dados dois vetores,

O produto direto destes vetores leva à

que é uma diádica. Nesta diádica ii, ij, ik, ji, jj, jk, ki, kj e kk são as díadas unitárias. Não houve erro de digitação, é díada mesmo. As 9 componentes de uma diádica formam uma matriz quadrada

As triádicas possuem 27 componentes associadas a cada uma das tríadas unitárias. Estas componentes formam uma matriz cúbica, isto é tridimensional.

Cabe ao leitor agora fazer a generalização para as triádicas e tetrádica. Estas grandezas físicas aparecem nas equações de transferência de quantidade de movimento durante o manuseio algébrico.

Equações de estado cúbicas – van der Waals

Johannes Diderik van der Waals

A equação de estado dos gases perfeitos é a equação de Clapeyron

onde P e T são, respectivamente, pressão e temperatura absolutas e V é o volume molar. Nesta equação R é a constante universal dos gases cujo valor depende do sistema de unidades usado. Esta equação parte de dois pressupostos: as moléculas do gás são pontuais e não existe interação entre elas.

O que van der Waals fez foi retirar estas restrições, supondo que as moléculas tem volume e que entre elas existe interação atrativa, chegando a equação empírica que recebe o seu nome e que valeu o prêmio Nobel de 1910

Nesta equação, a está associado ao volume molecular e b está associado às interações moleculares. Se estes parâmetros forem nulos, a equação de van der Waals se reduz à equação de Clapeyron.

Para calcular a e b basta lembrar que, no ponto crítico, a isoterma P versus V tem um ponto de inflexão. Neste ponto as duas derivadas da isoterma se anulam. Com isto, temos duas equações e duas incógnitas e

Definindo as variáveis reduzidas como sendo

chega-se a forma reduzida da equação de van der Waals

Observe que esta forma da equação de van der Waals independe dos valores de a e b sendo, portanto, invariante para todos os fluidos. Esta é a base do princípio dos estados correspondentes que será visto mais adiante.

Tanto a temperatura como a pressão são facilmente explicitáveis, mas quando é feita uma tentativa de explicitar V o resultado é

Esta é uma equação cúbica. As equações cúbicas podem ter três raízes reais ou uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas. O interessante é que para

Esta equação tem apenas uma raiz real e para

o número de raízes reais é três. A equação de van der Waals iniciou a família de equações de estado cúbicas conhecida como família de van der Waals: van der Waals (1873); Clausius (1880); Berthelot (1899); Redlich-Kwong (1949); Wilson (1964); Borner (1966); Soave (1972) Lee-Erbar-Edmister (1973); Peng-Robinson (1976); Schmitdt-Wenzel (1980); Harmens-Knapp (1980), etc.

PET 016 Distribuição da água, do petróleo e do gás na rocha armazenadora.

A rocha armazenadora é uma rocha porosa. Os fluidos se distribuem pela diferença de densidade. O fluido de maior densidade, a água, forma a camada inferior. O gás, menos denso, forma a camada de topo conhecida como chapéu de gás. O petróleo, com densidade intermediária entre a água e o gás, fica na camada do meio.

Outro fator de influência é a tensão superficial. Neste caso o que decide é a molhabilidade. O fluido que molha tende a expulsar o fluido que não molha. Isso faz com que nenhum dos fluidos seja completamente desalojado.

Na figura acima à esquerda o fluido amarelo molha o capilar, à direita é o fluido azul.

A água encontrada nas camadas de petróleo e gás é conhecida como água intersticial. O teor de água intersticial pode chegar até 30%. Em alguns reservatórios gasíferos a água intersticial pode chegar a 70%. O interessante é que esta água se mantém imóvel, não sendo arrastada para fora do poço. Saber o teor desta água é importante para o cálculo das quantidades de petróleo e gás no reservatório. Também não existe uma interface nítida entre as camadas aquífera e petrogasífera . O que existe é uma região de transição. A percentagem de água é 100% na camada gaquífera, caindo gradualmente para percentagens menores.

Equação do movimento de Bernoulli

O ponto de partida é a equação do movimento de Euler

Sendo ϱg uma força de campo

e a equação de Euler fica

Por outro lado

do que resulta

No caso do campo de força gravitacional

resultando

Admitindo escoamento estacionário

e

Integrando na linha de corrente obtém-se

onde c é a constante de integração. Se a integração ocorrer entre os pontos 1 e 2 sobre a linha de corrente então

Esta é a bem conhecida equação do movimento de Bernoulli. Observe que várias simplificações foram feitas. Siga a rota começando na equação de Navier-Stokes-Duhem para a equação de Navier-Stokes. Desta para a equação de Euler seguindo par equação de Bernoulli.

As 10 melhores universidades

Para uma lista mais abrangente vá para:

http://www1.folha.uol.com.br/saber/799481-na-america-latina-usp-e-a-1-colocada-em-ranking.shtml

TD 020 - Primeiro Princípio em Sistemas Complexos

Normalmente a termodinâmica é estudada considerando que a única forma de trabalho é aquele devido a expansão-contração do sistema. No entanto, outras formas de trabalho podem estar envolvidas. Por exemplo, se o sistema for um reator eletroquímico, o trabalho elétrico deve ser considerado. Se o sistema for um reator fotoquímico, então o trabalho fotônico deve ser incluído. Os sistemas onde mais de uma forma de trabalho deve ser considerada são denominados sistemas complexos.

Neste caso, a expressão do primeiro principio deve incluir todas as formas de trabalho. Considerando apenas dois trabalhos por comodidade, a generalização para um número maior de trabalhos fica por conta do leitor, o primeiro princípio fica

Como um dos trabalhos é sempre o trabalho de expansão-contração a equação acima pode ser escrita

O segundo pode ser qualquer outro

onde F é a força generalizada e L é o deslocamento generalizado. No caso do trabalho de expansão-contração a força generalizada é a pressão e o deslocamento generalizado é o volume. No caso do trabalho elétrico a força generalizada é a força eletromotriz e o deslocamento generalizado é a carga. O trabalho realizado na expansão da área de fronteira do sistema  é uma das formas de trabalho, onde a força generalizada é a tensão superficial e o deslocamento generalidado é o diferencial de área.

Nos processos a V e L constantes

Como E é uma função de estado, então a quantidade de energia liberada ou absorvida pelo sistema como calor independe do trajeto entre os estados inicial e final.

A entalpia fica um pouco diferente

 

e

Eliminando dE resulta

Então, nos processos a P e F constantes o calor liberado ou absorvido pelo sistema é igual a variação da entalpia. Isto significa que o calor independe do trajeto percorrido pelo sistema entre os estados inicial e final.