Se os limites
forem finitos o ponto x0 será denominado ponto ordinário da equação diferencial. Se um ou ambos os limites convergirem o ponto x0 será um ponto singular da equação. Neste caso, os limites a seguir serão analisados:
Se um destes limites divergir, o ponto singular o ponto singular é dito essencial ou não removível. Se os limites convergirem para um valor finito o ponto singular será dito regular ou removível. Para verificar se infinito é ponto ordinário ou singular basta fazer a mudança de variável
E repetir a análise acima para z = 0. A seguir algumas equações e seus respectivos pontos singulares.
1. Equação hipergeométrica
Esta equação tem pontos singulares regulares em 0, 1 e infinito. Todos os demais pontos são ordinários. Ela não tem nenhum ponto singular essencial.
2. Equação de Legendre
Os pontos singulares regulares desta equação são -1, +1 e infinito. Não tem ponto singular essencial. Todos os demais pontos são ordinários.
3. Chebishev
A equação de Chebishev tem as mesmas singularidades regulares encontradas em Legendre, isto é, em -1, +1 e infinito. Não possui singularidade essencial
4. Confluente hipergeométrica
Esta equação tem um ponto singular removível em zero e outro ponto singular não removível em infinito. Os demais pontos são ordinários.
5. Bessel
Esta equação tem um ponto singular removível em zero e um ponto singular não removível em infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
6. Laguerre
Os pontos singulares são zero e infinito. O ponto zero é uma singularidade regular e o ponto infinito é uma singularidade irregular. Todos os demais pontos são ordinários.
7. Oscilador harmônico simples
O ponto singular essencial estão localizado no infinito. Todos os demais pontos são pontos ordinários.
8. Hermite
Tem um ponto singular não removível no infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
E dai? Tudo vai depender de onde está colocada a condição inicial. Nos pontos ordinários o simples desenvolvimento em série produz o par de soluções analíticas linearmente independentes. Nos pontos singulares regulares o método a ser usado é o de Frobenius. Simplesmente desenvolver em série de potencia não vai funcionar. Se a condição inicial cair num ponto singular irregular é bronca.
