EDO 012 – Equações redutíveis a exata

Dada uma equação de primeira ordem na forma diferencial

ela é dita exata se

A solução das equações que satisfazem esta condição já foi vista. Se

a equação será dita inexata. Para reduzi-la a uma equação exata é preciso encontrar um fator integrante r(u,t) tal que

satisfaça a condição das equações exatas, isto é,

 

Para achar r(u, t) é necessário resolver a equação diferencial parcial linear de primeira ordem

Atacar uma equação diferencial parcial para resolver uma equação diferencial ordinária nem pensar. Apenas dois casos serão considerados:

1. O fator integrante é apenas função de u. Neste caso, a equação diferencial parcial se reduz à ordinária

     

 

 

Observando a equação diferencial ordinária acima se percebe que um fator integrante dependente apenas de u só será possível se

Se a condição acima for satisfeita a solução da equação ordinária resultante é trivial.

2. O fator integrante é apenas função de t.  Neste caso, surge a seguinte equação ordinária

Analogamente ao caso anterior, o fator integrante só poderá ser função de t se

Como no caso anterior, se a condição acima for satisfeita encontrar o fator integrante é simples.

 

 

Triturador de mandíbula

A redução do tamanho de particulas é uma operação importante das indústrias químicas. Ela é conhecida como trituração e moagem e como cominuição. Muitos desenhos deste tipo de equipamentos desenvolvidos empiricamente e usados. Na prática existe uma seleção darwiniana e apenas os melhores equipamentos sobrevivem.

As triturações podem ser classificadas em: em grosseiras, intermédiarias e finas. Os trituradores grosseiros recebem o material bruto que podem ter blocos de até 1,5m.Contudo, para ser classifacado como grosseiro basta receber material com particulas cujos tamanhos superam 25 centimetros. Os moedores finos conseguem reduzir o tamanho das particulas ao pontos delas passarem numa peneira de 200 mesh. Os trituradores intermediários são limitados no tamanho das particulas que podem receber, não chegando ao ponto de ser classificado como grosseiro e nem conseguem moer ao ponto de passar numa peneira de 200 mesh como os moedores finos. Eles recebem o material dos moedores grosseiros e entregam aos moedores finos.

O principal triturador grosseiro é o triturador de mandibulas. Como o nome está sugerindo, ele “mastiga” as particulas. Eles são constituidos por duas mandíbulas, uma fixa e posicionada verticalmente e outra móvel inclinada em relação da fixa. As figuras abaixo valem por mil palavras.

Os trituradores de mandíbula caem tem duas categorias: do tipo Dodge e do tipo Blake.  Nos trituradores do tipo Dodge o eixo de movimento fica na base. A abertura na base permanece praticamente fixa e controla o tamanho máximo das partículas que saem do triturador. O angulo de abertura varia entre 20° e 30° graus.  A figura abaixo mostra um triturador do tipo Dodge.

 

Nos trituradores do tipo Blake o eixo de movimento da mandibula móvel fica em cima como mostra a figura abaixo. O movimento da mandíbula faz com que a saida tenha área variável.

 

O triturador de mandibulas mais comum é o do tipo Blake. Para ser preciso, o triturador de mandíbula do tipo Dodge é raro. Isto acontece porque ele tem uma tendencia desagradável de entupir.

Como funcionam os reatores bioquímicos

Nos reatores bioquímicos a transformação química é realizada por uma população de células vivas. Por exemplo, na produção de ácido cítrico a partir da sacarose o agente da transformação é o microrganismo Aspergillus niger. Na produção de etanol a partir da mesma sacarose o agente é o Saccharomices cerevisiae. É desta forma que são obtidos os antibióticos, enzimas, etc.

Basicamente a população microbiana viceja num caldo nutritivo. Cada individuo da população retira do caldo os nutrientes necessários ao crescimento celular e a manutenção do processo vital. Numa visão bastante simplificada, os nutrientes uma vez dentro da célula tomam dois rumos.

• Num as moléculas são quebradas para a produção da energia necessária ao processo vital e as reações de síntese das macromoléculas constituintes das célula vivas num processo conhecido como catabolismo. Os fragmentos de moléculas são liberados no meio.  
• Noutro as moléculas de nutrientes são usado como tijolos na construção das macromoléculas constituintes da célula vida. Neste processo a célula utiliza a energia produzida pelo catabolismo celular. Estas reações são conhecidas como reações anabólicas e compõe o anabolismo celular.

 

Se o produto desejado é um produto do catabolismo ele é encontrado no caldo fermentado de onde deve ser isolado e purificado. Os produtos do anabolismo em geral se localizam dentro das células vivas, as quais devem ser separadas do caldo fermentado e fragmentadas liberando o conteudo celular onde está a substância de interesse que deve ser isolada e purificada. Alguns produtos do anabolismo são exsudados no meio fermentado onde podem ser encontrados. É o caso dos antibióticos e de alguns enzymas.

É bom ressaltar, nesta altura, que a visão acima é muito simplificada. No interior da célula viva ocorrem mais de 5000 reações quase todas catalisadas por enzimas específicos. O estudo e o manuseio destas reações é objeto da engenharia metabólica.

Níveis de biossegurança

Estes níveis se aplicam a ambientes onde agentes biológicos são manuseados. O microrganismo determina o nível de biossegurança e quanto mais perigoso o microrganismo manuseado mais alto será o nível.

NB-1 - É o nível de contenção que se aplica aos laboratórios onde são manipulados microrganismos nunca descritos como causadores de doenças e que não constituem risco para o meio ambiente. Este nível não exige nenhum cuidado especial no projeto do laboratório além de um bom planejamento espacial e funcional.  Exemplo: Saccharomyces cerevisiae.

NB-2 – Neste nível estão os laboratórios que manuseiam agentes associados com doenças humanas com pouco risco para os profissionais do laboratório. Moderado risco individual e baixo risco coletivo. O projeto do laboratório deve ser mais elaborado com barreiras de contenção físicas e uso de equipamentos de proteção individuais.

NB-3 – Estão neste nível os laboratórios que manuseiam agentes biológicos associados a doenças humanas graves, mas não facilmente transmissiveis. Neste caso, o risco individual é alto e o coletivo é baixo. As exigências quanto ao projeto do laboratório passam a ser maiores e deve ser mantido controle rígido quanto a operação, inspeção e manutenção das instalações e equipamentos e o pessoal técnico deve receber treinamento específico sobre procedimentos de segurança para a manipulação destes microrganismos.

NB-4 – Neste nível estão os laboratórios de maior nível de contenção, incluindo a separação física das demais dependencias. São laboratórios que trabalham com agentes altamente infecciosos e que se propagam facilmente.

Para classificar o laboratório num destes níveis basta procurá-lo numa das muitas listas disponíveis. Aqui no Brasil a agência que cuida disso é a ANVISA. Se o microrganismo não aparecer na lista torna-se necessário um estudo para descobrir em que nível ele se enquadra.

O conhecimento destes níveis interessa aos engenheiros químicos que atuam nas indústrias bioquímicas e farmacêuticas. 

Equação de Clapeyron

A equação é a equação de estado dos gases ideais, também conhecido como gases perfeitos. Ela relaciona a temperatura, a pressão e o volume molar para estes gases sendo escrita da seguinte forma

Nesta equação R é a constante universal dos gases cujo valor depende do sistema de unidades usado. Não confundir a equação acima com outra equação, conhecida como equação de Clausius-Clapeyron, que relaciona o calor latente de vaporização com a temperatura e variação aumento de volume básica para formulação da segunda lei e que pode ser escrita da seguinte forma

 

Benoit Paul Émily Clapeyron nasceu hoje em Paris em 1799. Engenheiro e considerado um dos fundadores da termodinâmica. Estudou na Escola Politécnica e depois na Escola de Minas antes de se transferir para São Peterburgo em 1820. Retornou a Paris depois da Revolução de 1830. A sua primeira contribuição para a moderna termodinâmica foi um relatório intitulado “A força motriz do calor” publicado em 1934. Clapeyron era acima de tudo um engenheiro que projetava locomotivas e pontes metálicas. Inclusive existe um teorema de Clapeyron envolvendo a energia potencial na elasticidade linear. Foi membro da comissão que investigou a construção do canal de Suez  e da comissão que analisou os possíveis usos da da maquina a vapor pela marinha. Clapeyron morreu em 28 de janeiro de 1864.

Ludwig Eduard Boltzmann

Quem nasceu hoje em Viena, em 1844, foi Boltzmann conhecido como o pai da mecânica estatística. Era um físico clássico, mas a sua contribuição para a física moderna foi foi muito grande. O seu avô, que se transferiu de Berlim para Viena, era fabricante de relógios. O seu pai era oficial coletor de impostos. Logo depois de seu nascimento, a sua família mudou-se para Linz onde Boltzmann realizou seus estudos iniciais em casa. Em 1863, ingressou na Universidade de Viena onde obteve o doutoramento com uma tese sobre a teoria cinética dos gases, em 1866, sob a orientação de Josef Stefan. Depois de trabalhar com Stefan por mais dois anos, foi indicado para ser Professor de Matemática Física na Universidade de Graz. Foi como professor de Graz que esteve em Heildeberg com Robert Bunsen e visitou Gustav Kirchhof e Hermann von Helmholtz em Berlim. Foi também nesta universidade que conheceu, como aluna, Henriette von Aigentler, que seria mais tarde a sua esposa. Em 1873, voltou à Universidade de Viena como Professor de Matemática permanecendo até 1876. Neste mesmo ano, casou com Henriette e do seu casamento nasceram 3 filhas e 2 filhos, retornando a Graz com Professor de Física Experimental. Svante Arrehnius e Walther Nertz foram seus alunos. Foi neste período que desenvolveu os seus conceitos estatísticos da natureza. Em 1885, é nomeado membro da Academia de Ciências Imperial austríaca e em 1887 é nomeado Reitor da Universidade de Graz. Em 1890 foi nomeado Professor de Física Teórica na Universidade de Munique e, em 1893, retorna a Viena para suceder o seu orientador que faleceu neste ano na cátedra de Física Teórica. Por causa de conflitos com Ernst Mach mudou-se para a Universidade de Leipzig convidado por Ostwald. No entanto, em 1892, Mach aposentou-se por problemas de saúde e Boltzmann retorna a Viena. Em Viena também ensinou filosofia e sua aulas lotavam o maior auditório. Neste aspecto era brilhante e suas palestras eram muito bem organizadas.

Durante toda a sua vida Boltzmann sofria de mudanças severas de humor e sua depressão tinha efeitos negativos em sua vida pessoal e profissional. A sua visão estatística era fortemente atacada. Isso associado a depressão levaram Boltzmann a se enforcar, em 5 de outubro de 1906, quando estava em férias com a sua esposa e filhos em Trieste na Itália.

No seu túmulo está a sua mais célebre fórmula sobre entropia, considerada a mais sintética formulação da segunda lei

S = k lnW

onde W é a probabilidade de ocorrência do estado macroscópico e k é a constante de Boltzmann.  Esta constante pode ser obtida dividindo-se a constante dos gases pelo número de Avogadro e seu valor é:

Também associada a Boltzmann, juntamente com Stefan, sendo, por isso chamada lei de Stefan-Boltzmann, a lei que rege o fluxo de calor radiante

onde sigma é a constante de Stefan-Boltzmann. Esta lei é importante no dimensionamento de fornalhas onde o principal mecanismo de transferência de calor é a radiação.,

 

 

Viscosimetro de Zahn

O viscosimetro Zahn mede a viscosidade em centistokes. Consiste numa haste inoxidável em forma de “U” conectada a um caneco um orificio na base. O viscosímetro é completamente cheio com o fluido que se quer medir a viscosidade por imersão. As dimensões podem se vista na norma ASTM D4212

O tempo zero é o momento em que o viscosimetro  já completamente cheio é retirado do fluido. O fluido é deixado escoar até que o filete que sai do caneco se parta deixando de ser contínuo. Munido deste tempo, a viscosidade, em centistokes, é dada pela equação correspondente a cada classe de viscosimetro. São cinco classes, cada uma correspondente a um diâmetro de orifício.

• Zahn Cup #1: ν = 1.1(t - 29)
• Zahn Cup #2: ν = 3.5(t - 14)
• Zahn Cup #3: ν = 11.7(t - 7.5)
• Zahn Cup #4: ν = 14.8(t - 5)
• Zahn Cup #5: ν = 23t

O viscosimetro Zahn é muito usado na indústria de tintas. Os cinco tamanhois de orifícios acima cobrem viscosidades cinemáticas de 20 cS até 1200 cS.