EDO 003 - Solução singular

Aproveitando a carona da equação de Clairaut o caminho inverso indo da equação diferencial para a solução será percorrido. A forma geral da equação de Clairaut é

Derivando em relação t resulta

Cancelando os termos iguais e rearranjando tem-se que:

Para isso é necessário que uma das duas condições a seguir seja obedecida

No primeiro caso, uma integração leva a

Onde alfa é uma constante arbitrária. Inserindo na equação de Clairaut resulta

Esta é a família de curvas que satisfaz a equação de Clairaut. Até aqui nenhuma novidade, pois no item anterior partindo desta família de retas chegou-se a equação de Clairaut. Então esta família de retas é a solução geral do problema.

O que acontece se a segunda condição prevalecer?

Neste caso é considerado o par formado pela condição e a equação diferencial de Clairaut

Agora basta eliminar a derivada para chegar a solução, não é possível fazer isso em cima da forma geral sem especificar a função que nela aparece, então o exemplo a seguir é ilustrativo.

Exemplo – Considere a equação de Clairaut

Neste caso

Eliminando a derivada chega-se à

Esta é a equação de uma parábola e é também solução deste problema de Clairaut. A solução geral como foi visto é a família de retas

A parábola não está contida nesta família, portanto, não faz parte da solução geral e nem é uma solução particular. Por isso é chamada de solução singular.Por outro lado, a família de retas é constituída pelas retas tangentes a parábola por isso a parábola é também denominada curva envoltória da família de curvas.Os pontos localizados na solução singular admitem duas soluções: a solução singular e a reta tangente a solução singular no ponto que é uma solução particular. Cada ponto da solução singular compartilha o mesmo valor da derivada com uma das soluções particulares.

EDO 002 – Solução geral e particular

Resolver uma equação diferencial consiste em achar a função desconhecida que a satisfaz. Antes de entrar nos métodos de solução, o caminho inverso deve ser percorrido. Partindo de uma família de funções achar a equação diferencial satisfeita por ela. Para isso, considere a função de duas variáveis

Esta equação representa uma trajetória no plano u versus t. No referencial usado u é a ordenada e t é a abscissa. O gráfico da função resulta numa curva neste referencial. Se uma constante α for incluída  ela assume a forma:

Escrita desta maneira ela não representa mais apenas uma curva, mas toda uma família de curvas e a cada valor de α corresponde uma curva da família. O exemplo a seguir ilustra isso

Exemplo – A função que representa uma circunferência de raio unitário com centro na origem é:

Se no membro à esquerda a parcela unitária for substituída por a função fica

Neste caso, ela passa a ser a equação da família de circunferências de centro na origem e raio α. Onde α pode assumir qualquer valor real positivo.

Considerando a equação de uma família de curvas e eliminando o parâmetro, o resultado é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para eliminar α é necessário derivar a equação da família de curvas em relação a t. Disto resulta

A eliminação de α pode ser feita considerando o par de equações:

Feita a eliminação do parâmetro o resultado será uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.

Exemplo  – Considere a equação da família de circunferências com centro na origem

Diferenciando em relação a t resulta

Como a constante sumiu na diferenciação, a equação diferencial apareceu sem esforço. Explicitando a derivada ela fica:

Esta equação é satisfeita pela família de circunferências com centro na origem. Para ver isso, basta inserir a equação da família de curvas na equação diferencial.

A família de curvas que dá origem a equação diferencial é a solução geral desta equação. Se a equação da família for introduzida na equação o resultado será uma identidade. Cada curva da família será uma solução particular da equação diferencial.

A obtenção da equação diferencial no exemplo acima foi simples demais e isso não é comum. Então considere o exemplo a seguir envolvendo uma família de exponenciais.

Exemplo – Considere a família de curvas exponenciais dada pela função

Seguindo o mesmo roteiro do exemplo anterior obtém-se

Como o parâmetro α não sumiu na derivação, então o par de equações deve ser considerado para eliminá-lo. Assim

Subtraindo a primeira equação da segunda resulta:

Esta é a equação diferencial ordinária de primeira ordem cuja solução geral é esta família de curvas.

Entendido o conceito de solução geral, a seguir é apresentado mais um exemplo cuja utilidade será percebida mais adiante.

Exemplo – Considere agora a família de retas dada pela equação

Para eliminar o parâmetro basta diferencial esta equação em relação à t. Disto resulta que

Inserindo na equação da família de retas resulta

Esta é a equação geral de Clairaut, logo a família de retas acima é a solução geral desta equação.

Exemplo – Considerando a equação apresentada no Exemplo 1.1.1.

Esta equação é satisfeita pela família de retas

Assim, uma equação aparentemente cabeluda tem uma solução geral bem simples.

Se uma família de curvas é solução geral de uma equação diferencial, cada curva desta família será uma solução particular da equação diferencial.

O que acontece se, ao invés de um, existirem dois parâmetros? Neste caso, a equação da curva deve ser diferenciada duas vezes e a eliminação dos parâmetros leva a uma equação diferencial de segunda ordem.

Agora estamos em condições de declarar que resolver uma equação diferencial ordinária analiticamente consiste em achar a equação analítica da família de curvas que a satisfaz. O que acontece é que, na maioria dos casos, esta equação analítica não pode ser encontrada, quando é encontrada pode ser de pouca utilidade, obrigando que métodos numéricos sejam usados.

A tese do coelho

Esta é velha, mas faz os doutorandos rolar de rir. Lá vai!!

Num dia lindo e ensolarado, o coelho saiu de sua toca com o notebook e pôs-se a trabalhar, bem concentrado. Pouco depois, passou por ali a raposa e viu aquele suculento coelhinho, tão distraído, que chegou a salivar. No entanto, ela ficou intrigada com a atividade do coelho e aproximou-se, curiosa:

R - Coelhinho, o que você está fazendo aí tão concentrado?

C - Estou redigindo a minha tese de doutorado - disse o coelho sem tirar os olhos do trabalho.

R - Humm .. . e qual é o tema da sua tese?

C - Ah, é uma teoria provando que os coelhos são os verdadeiros predadores naturais de animais como as raposas.

A raposa fica indignada:

R - Ora! Isso é ridículo! Nos é que somos os predadores dos coelhos!

C - Absolutamente! Venha comigo à minha toca que eu mostro a minha prova experimental.

O coelho e a raposa entram na toca. Poucos instantes depois ouvem-se alguns ruídos indecifráveis, alguns poucos grunhidos e depois silêncio. Em seguida o coelho volta, sozinho, e mais uma vez retoma os trabalhos da sua tese, como se nada tivesse acontecido. Meia hora depois passa um lobo. Ao ver o apetitoso coelhinho tão distraído, agradece mentalmente à cadeia alimentar por estar com o seu jantar garantido. No entanto, o lobo também acha muito curioso um coelho trabalhando naquela concentração toda. O lobo então resolve saber do que se trata aquilo tudo, antes de devorar o coelhinho:

L - Olá, jovem coelhinho. O que o faz trabalhar tão arduamente?

C - Minha tese de doutorado, seu lobo. É uma teoria que venho desenvolvendo há algum tempo e que prova que nós, coelhos, somos os grandes predadores naturais de vários animais carnívoros, inclusive dos lobos.

O lobo não se contém e cai na gargalhada com a petulância do coelho.

L - Apetitoso coelhinho! Isto é um despropósito. Nós, os lobos, é que somos os genuínos predadores naturais dos coelhos. Aliás, chega de conversa...

C - Desculpe-me, mas se você quiser eu posso apresentar a minha prova. Você gostaria de me acompanhar à minha toca?

O lobo não consegue acreditar na sua boa sorte. Ambos desaparecem toca adentro. Alguns instantes depois ouvem-se uivos desesperados, ruídos de mastigação e ... silêncio. Mais uma vez o coelho retorna sozinho, impassível, e volta ao trabalho de redação da sua tese, como se nada tivesse acontecido... Dentro da toca do coelho vê-se uma enorme pilha de ossos ensanguentados e pelancas de diversas ex-raposas e, ao lado desta, outra pilha ainda maior de ossos e restos mortais daquilo que um dia foram lobos. Ao centro das duas pilhas de ossos, um enorme LEÃO, satisfeito, bem alimentado e sonolento, a palitar os dentes.

MORAL DA HISTORIA:

• Não importa quão absurdo é o tema de sua tese.

• Não importa se você não tem o mínimo fundamento científico.

• Não importa se os seus experimentos nunca cheguem a provar sua teoria.

• Não importa nem mesmo se suas idéias vão contra o mais óbvio dos conceitos lógicos...

• O que importa é QUEM É O SEU ORIENTADOR...

EDO 001 – Equações diferenciais de 1ª ordem

As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem são equações que relacionam uma variável independente, t, uma função desconhecida desta variável, u(t), e a derivada de primeira ordem desta função. A forma geral destas equações é:

 

Normalmente, a variável independente é o tempo e a função desconhecida é uma grandeza física escalar, por exemplo, temperatura, ou vetorial, por exemplo, velocidade.

Se a variável independente for uma coordenada espacial, então t pode ser substituído por x e a forma geral acima fica:

Contudo, como, na maioria dos casos, a variável independente é o tempo, este será sempre considerado a variável independente ao longo desta monografia salvo menção em contrário. Por enquanto, a função desconhecida será uma função escalar e a primeira expressão acima será a forma geral das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. As funções desconhecidas vetoriais serão abordadas mais adiante.

A seguir são apresentados dois exemplos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem onde u é função do tempo t.

Exemplo 1 – O primeiro exemplo é a equação

Esta equação é um caso particular da equação de Clairaut, que é uma família de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem cuja forma geral é:

O nome desta equação é uma homenagem a Alexis Claude Clairaut (1713-1765), matemático francês, precursor da geometria diferencial e que realizou importantes estudos sobre curvas espaciais. Sua primeira obra, intitulada “Quatre problèmes sur de nouvelles curbes” foi apresentada a Academia de Ciência de Paris quando ele tinha 13 anos. Morreu em 1765 aos 52 anos.

Exemplo 2 – O segundo exemplo é a equação

Esta equação pode ser identificada como um caso particular da equação de Riccati cuja forma geral é

O nome desta equação é uma homenagem ao Conde Jacobo Francesco Riccati (1676-1754), matemático italiano, que estudou diversas classes de equações diferenciais incluindo esta que recebeu o seu nome.

Equações de ordens superiores a primeira estão fora do escopo desta monografia, mas como podem ser reduzidas facilmente a equações de primeira ordem, elas estão, de certa maneira, incluídas. Isso será visto mais adiante quando funções desconhecidas vetoriais forem abordadas.

Se for possível explicitar a derivada, então a equação diferencial  poderá ser escrita desta maneira:

Observe que existem equações que não se reduzem a forma acima. Os exemplos a seguir são ilustrativos.

Exemplo 3 – Considere a equação de Riccati do exemplo acima

Explicitar a derivada nesta equação é muito simples, bastando transferir as duas ultimas parcelas para o membro a direita, resultando

Infelizmente nem sempre isso é possível, especialmente se a derivada estiver dentro de unções transcendentais como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo 4 – Considere, agora, a equação de Clairaut apresentada noutro exemplo acima.

Nesta equação, a derivada aparece dentro e fora de uma função trigonométrica, no caso a função seno, por isso não há como explicitar a derivada.

Se a equação não for explicitável na derivada ela pode ser explicitável na função desconhecida. Neste caso a forma geral pode ser reduzida a:

Algumas equações diferenciais são explicitáveis na variável independente. Neste caso, a forma geral se reduz a:

Felizmente, é bom repetir, as equações da engenharia química surgem já com a derivada explicitada devido à forma como são obtidas. A vasta maioria delas decorre de balanço material ou energético que relacionam uma taxa de variação com fenômenos de transferência e processos transformativos.

[taxa de variação] = [taxa de transferência] + [taxa de transformação]

Os processos transformativos, no caso do balanço material, são reações químicas. Já no caso do balanço energético este processo consiste na mudança da energia de uma forma para outra. Já as taxas de transferência estão ligadas aos movimentos convectivos de matéria e energia. A inclusão de transferências difusivas normalmente leva a equações diferenciais de segunda ordem.

Exemplo 5 – Considerando um reator continuo do tipo tanque bem misturado isotérmico onde ocorre uma reação irreversível simples, o balanço material do reagente leva a seguinte equação diferencial de primeira ordem:

Nesta equação, u é a extensão da reação, considerada função apenas de t. A função r(u) é uma expressão cuja forma exata depende da cinética da transformação química. O tempo de residencia, representada pela letra grega teta, é a razão entre a vazão volumétrica e o volume do reator.Se a vazão e/ou o volume for variável, o tempo de residência será uma função conhecida do tempo.

Exemplo 6. – Considere um termômetro de bulbo de mercúrio imerso num fluido. Representando a temperatura do fluido por T₀ e a temperatura do termômetro no instante de imersão por T, o balanço energético resulta

Nesta equação U é o coeficiente global de transferência de calor, A é a área de contacto fluido termômetro. m é a massa do termômetro e é o calor especifico do termômetro. Um rápido manuseio fazendo u=T e u₀ = T₀ conduz-nos a

Nesta última equação

O balanço não precisa ser necessariamente material ou energético, pode ser um balanço de força. Neste caso, a segunda lei de Newton se aplica

Nesta expressão, m é a massa, u a velocidade e são as forças atuantes sobre o corpo. O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo 7 – Uma esfera em queda livre num fluido viscoso é um problema básico para o estudo dos sistemas particulados. Efetuando o balanço das forças que atuam na esfera resulta:

Neste caso, o membro a esquerda é a taxa de variação do impulso (quantidade de movimento) da esfera e as duas parcelas a direita são, respectivamente, o ganho de impulso devido ao peso aparente (peso menos empuxo) e a perda de impulso devido à resistência viscosa. Na verdade, estas duas parcelas são forças Nesta equação diferencial aparecem parâmetros constantes cujos valores dependem do problema considerado. São eles, a massa da esfera, m, g, e o coeficiente de arraste, K. Nesta equação g é a aceleração da gravidade. Dividindo a equação por m, ela pode ser escrita da seguinte forma:

PET 001 - Formação do petróleo

Existem muitas teorias acerca da origem do petróleo. Elas podem ser divididas em:

• Teoria abiótica – que supõe que o petróleo seja formado a partir de materiais inorgânicos existentes na crosta terrestre e
• Teoria biótica – que propõe que o petróleo seja o resultado da decomposição de seres vivos.

A teoria abiótica encontra mais simpatizantes no leste Europeu, particularmente na Rússia e na Ucrânia, e a teoria biótica é preferida no mundo ocidental. As teorias abióticas vão desde a origem cósmica que admite que o petróleo formou-se junto com o planeta até as teorias que ele é formado pela reação de carbetos metálicos, principalmente carbeto de ferro, existentes na crosta terrestre.

A presença de porfirinas e a ocorrência de atividade ótica em alguns petróleos apontam para uma origem biótica. As porfirinas são substâncias orgânicas muito estáveis, que fazem parte da estrutura química das hemoglobinas, mioglobinas, clorofilas e citocromos, cuja presença no petróleo é muito difícil de ser explicada por teorias exclusivamente abióticas. A atividade ótica, por outro lado, revela a predominância de um dos compostos quirais, o que também só pode ser explicada por teorias biológicas, uma vez que as vias inorgânicas resultam, invariavelmente, em compostos racêmicos, sem atividade ótica. Outro argumento em favor da origem biológica vem do uniformitarianismo, teoria que afirma que os fenômenos geológicos ainda ocorrem da mesma forma como ocorreram no passado. Assim, as teorias sobre a formação do petróleo devem envolver etapas que ainda estão ocorrendo e que podem ser observadas hoje em dia.

Segundo a teoria biótica mais aceita, a primeira etapa na formação do petróleo consiste na deposição de organismos vivos, juntamente com partículas de areias e argilas, no fundo de lagos e mares costeiros. Os organismos vivos depositados podem ser plânctons, algas lacustres e marinhas, fragmentos de animais terrestres e aquáticos, microrganismos, polens e esporos. Disto resulta a formação de uma camada de lodo orgânico denominado sapropel. Sapropel é um termo de origem grega que significa lodo fétido.

Na segunda etapa, o sapropel sofre ação microbiana anaeróbia com formação intensa de gases e de substâncias solúveis na água. O processo continua até a formação de uma camada orgânica estável. O gás liberado nesta etapa, constituído principalmente por metano, mas também por gás sulfídrico e amônia, é denominado gás biogênico. Ele normalmente borbulha e se perde na atmosfera, raramente pode se acumular. O maior depósito de gás do mundo, localizado na Sibéria, é formado por gás biogênico retido por um solo permanentemente congelado.

O resultado desta decomposição é a formação de uma camada orgânica estável (areia + argila + material orgânico) conhecida como folhelho, que vai sendo soterrada por sucessivos sedimentos. A matéria orgânica contida no folhelho é conhecida como querogênio. Para a formação do petróleo o teor de querogênio no folhelho deve superar 4%.

Num processo que dura milhões de anos, o folhelho vai sendo soterrado atingindo profundidades cada vez maiores até alcançar a chamada janela de formação do petróleo. Esta janela é atingida quando a temperatura alcança cerca de 60ºC e vai até em torno de 150ºC. Considerando o gradiente geotérmico médio de 1ºC a cada 30 metros e uma temperatura ambiente de 20ºC, esta janela corresponde a profundidades entre 1200m e 3900m. Obviamente, os limites desta janela dependem do gradiente geotérmico que é bastante variável e está associado à atividade geotérmica da área, variando entre um máximo de 1ºC para cada 10m e um mínimo de 1ºC para cada 80m.

Na janela de formação, a matéria orgânica é lentamente liquefeita, num processo provavelmente catalisado por argilas, transformando-se em petróleo. O óleo formado nas temperaturas menores desta janela resulta em petróleos imaturos e pesados e os formados nas temperaturas maiores em petróleos maduros e leves. Abaixo da janela de formação, onde a temperatura supera 150ºC, o querogênio é gaseificado transformando-se totalmente em gás natural.

Como o petróleo quase nunca é encontrado nas rochas formadoras, admite-se que, durante a liquefação, a matéria orgânica sofra expansão produzindo micro-fraturas na rocha. Através destas, num processo ainda não completamente esclarecido, mas que se supõe ser predominantemente difusivo, o petróleo migra para uma rocha porosa vizinha. Esta migração é conhecida como migração primária.

Uma vez na rocha porosa, o petróleo segue o movimento geral das águas migrando para longe da rocha formadora. Esta migração, que obedece às leis do escoamento de fluídos em meios porosos, é conhecida como migração secundária. Neste movimento o petróleo pode acabar aflorando, formando, por evaporação, os chamados lagos de asfalto. Uma pequena porção do petróleo, contudo, encontra, no caminho, uma armadilha geológica ou trapa. A trapa é uma formação geológica favorável ao acumulo e armazenamento do petróleo. Ela é composta por uma rocha armazenadora que deve ser porosa e permeável, usualmente um arenito ou um calcário. Ela deve ser encimada por uma rocha selante cuja característica principal é a baixa permeabilidade. Duas classes de rochas são selantes por excelência : os folhelhos (rochas argilosas laminadas) e os "evaporitos" (sal). Outros tipos de rochas também podem funcionar como tal, como por exemplo, rochas carbonáticas, rochas ígneas, etc. A eficiência selante de uma rocha não depende só de sua espessura, mas também de sua extensão. Na trapa, o petróleo permanece até ser encontrado pelo homem. Estima-se que menos de 10% do petróleo produzido na rocha formadora encontre uma trapa.

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