quarta-feira, 2 de janeiro de 2013

Pontos singulares de EDO de segunda ordem

Dada uma equação de segunda ordem na forma geral
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Se os limites
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forem finitos o ponto x0 será denominado ponto ordinário da equação diferencial. Se um ou ambos os limites convergirem o ponto xserá um ponto singular da equação. Neste caso, os limites a seguir serão analisados:

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Se um destes limites divergir, o ponto singular o ponto singular é dito essencial ou não removível. Se os limites convergirem para um valor finito o ponto singular será dito regular ou removível. Para verificar se infinito é ponto ordinário ou singular basta fazer a mudança de variável
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E repetir a análise acima para z = 0. A seguir algumas equações e seus respectivos pontos singulares.
1. Equação hipergeométrica
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Esta equação tem pontos singulares regulares em 0, 1 e infinito. Todos os demais pontos são ordinários. Ela não tem nenhum ponto singular essencial.
2. Equação de Legendre
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Os pontos singulares regulares desta equação são -1, +1 e infinito. Não tem ponto singular essencial. Todos os demais pontos são ordinários.
3. Chebishev
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A equação de Chebishev tem as mesmas singularidades regulares encontradas em Legendre, isto é, em -1, +1 e infinito. Não possui singularidade essencial
4. Confluente hipergeométrica
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Esta equação tem um ponto singular removível em zero e outro ponto singular não removível em infinito. Os demais pontos são ordinários.
5. Bessel
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Esta equação tem um ponto singular removível em zero e um ponto singular não removível em infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
6. Laguerre
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Os pontos singulares são zero e infinito. O ponto zero é uma singularidade regular e o ponto infinito é uma singularidade irregular. Todos os demais pontos são ordinários.
7. Oscilador harmônico simples
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O ponto singular essencial estão localizado no infinito. Todos os demais pontos são pontos ordinários.
8. Hermite
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Tem um ponto singular não removível no infinito. Todos os demais pontos são ordinários.
E dai? Tudo vai depender de onde está colocada a condição inicial. Nos pontos ordinários o simples desenvolvimento em série produz o par de soluções analíticas linearmente independentes. Nos pontos singulares regulares o método a ser usado é o de Frobenius. Simplesmente desenvolver em série de potencia não vai funcionar. Se a condição inicial cair num ponto singular irregular é bronca.

terça-feira, 1 de janeiro de 2013

Composição do gás natural

É variável, por isso a composição é dada a seguir é dada por faixas de valores.

Metano                     70% a 90%

Etano                           0%   a  20%

Propano                    Traço

Butano                       Traço

Gás carbônico         0%  a  8%

Oxigênio                    0%  a  0,2%

Nitrogênio                0%   a   5%

Gás sulfidrico           0%  a  5%

Gases raros                Traço