Equações do movimento dos fluidos newtonianos

Novamente o ponto de partida é a equação do movimento de Cauchy

Inserindo a lei da viscosidade de Newton

onde D é a diádica taxa de deformação. Ela é, simplesmente, a parte simétrica da diádica gradiente de velocidade

é a pressão, µ é a viscosidade dinâmica, é uma viscosidade conhecida como "bulk viscosity" associada a resistência a expansão e contração de fluidos gasosos. Inserindo na equação de Cauchy obtém-se

Esta equação é conhecida como equação do movimento de Navier-Stokes-Duhem. Esta equação rege o escoamento dos fluidos compressíveis, isto é, dos gases.

Se o fluído for incompressível

e a equação do movimento acima se reduz a

que é a tão falada equação do movimento de Navier-Stokes. Ela é objeto de um prêmio de US $ 1.000.000,00 para quem achar a sua solução geral.

Aproveitando o embalo aqui vai, como um brinde, a equação dos movimento dos fluidos perfeitos. A viscosidade deles é zero. Não são, portanto, fluidos newtonianos. Neste caso, a equação de movimento fica

e recebe o nome de equação do movimento de Euler.