segunda-feira, 28 de junho de 2010

FTF - 001 - Equação da continuidade

Considere um fluido de densidade ρ em movimento com velocidade v. Obviamente , ρ é uma grandeza escalar e v é uma grandeza vetorial. Para dar mais generalidade tanto ρ como v são funções da posição e do tempo. Considere agora um volume de controle V limitado pela superfície simples fechada S. Para facilitar o manuseio matemático, este volume imaginário é considerado fixo no espaço e no tempo em relação a um referencial inercial.

Efetuando o balanço material do fluido resulta

onde n é o vetor unitário normal a S. O sinal negativo no membro a direita da equação acima decorre do fato de que este vetor unitário normal apontar para fora do volume. Como nem V e nem S são funções de t é possível inserir a derivada dentro da integral. Já no membro a direita o teorema da divergência transforma a integral de superfície em integral de volume. Disso resulta queo membro a direta para dar


Agrupando as integrais resulta

Em nenhum momento foi imposta restrições a V fora ser fixo no espaço e no tempo em relação ao referencial, então só existe uma forma da integral acima ser nula independentemente de V, que

Esta é a expressão mais geral possivel da equação da continuidade. Ela será embutida na equação do movimento. Com isso a obediência à equação do movimento implicará na obediência automática à equação da continuidade.


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